Question

Из двух железнодорожных станций, длина пути между которыми равна 270 км, одновременно навстречу друг другу отправляются два поезда и встречаются через 3 ч. На станцию назначения один поезд прибывает на 1 ч 21 мин раньше, чем другой. Найдите скорости поездов (с помощью систем нелинейных уравнений с двумя переменными)

Answer 1

Пусть х - скорость первого поезда, а у - скорость второго поезда, тогда первый поезд проехал весь путь за 270/х часов, а второй за 270/у часов, при этом он прибыл на 1ч 21 мин. (27/20) позже первого. Можно составить первое уравнение

270/y-270/x=27/20; 270(1/y-1/x)=27/20; 1/y-1/x=1/200

Поезда встретились через 3 часа, значит первый поезд до встречи ехал 3х км, а второй поезд ехал 3у км. Так как они двигались навстречу друг другу, то общее расстояние которое они проехали равно 270 км. Запишем второе уравнение

3х+3у=270

Можно 3 вынести за скобки: 3(х+у)=270; х+у=90

Составим систему

1/y-1/x=1/200    (x-y)/x*y=1/200   x-y=x*y/200   200(x-y)=x*y

x+y=90               x=90-y               x=90-y            

200(90-y-y)=(90-y)*y

18000-400y=90y-y²

y²-490y+18000=0

D=(-490)²-4*18000=240100-72000=410

y=(490-410)/2=40     y=(490+410)/2=450

Второй корень нам не подходит (слишком большая скорость), поэтому скорость второго поезда 40 км/ч, а второго х=90-40=50 км/ч.

Answer 2

Пусть скорость первого поезда будет V1, а скорость второго поезда — V2.

Расстояние между станциями составляет 270 км. Зная время встречи (3 часа), мы можем записать уравнение для расстояния:

V1 * 3 + V2 * 3 = 270

Теперь учтем, что один из поездов прибывает на станцию назначения на 1 час 21 минуту (или 1.35 часа) раньше другого. То есть время встречи плюс время пути первого поезда будет на 1.35 часа меньше, чем время пути второго поезда:

V1 * 3 + 1.35 = V2 * 3

У нас получилась система из двух нелинейных уравнений с двумя переменными:

{ V1 * 3 + V2 * 3 = 270 V1 * 3 + 1.35 = V2 * 3 }

Давайте решим эту систему уравнений.

Первое уравнение можно переписать в виде:

3V1 + 3V2 = 270

Выразим V1 из второго уравнения:

V1 = (V2 * 3 - 1.35) / 3

Подставим значение V1 в первое уравнение:

3 * ((V2 * 3 - 1.35) / 3) + 3V2 = 270

(V2 * 3 - 1.35) + 3V2 = 270

4V2 - 1.35 = 270

4V2 = 271.35

V2 = 67.8375

Теперь найдем V1, подставив значение V2 во второе уравнение:

V1 = (67.8375 * 3 - 1.35) / 3

V1 = 66.4875

Таким образом, скорость первого поезда (V1) составляет 66.4875 км/ч, а скорость второго поезда (V2) составляет 67.8375 км/ч.