Question

Пусть A - множество квадратов натуральных чисел, B - множество кубов натуральных чисел. Выберите те числа, которые принадлежат пересечению множеств A и B. Вариантов ответа может быть несколько 16 27 64 1

Answer 1

Если число n является элементом пересечения А и В, то есть два натуральных числа m и k, для которых выполняется,

$n=m^2\\n=k^3$

Рассмотрим равенство (последовательно преобразовывая его),

$m^2=k^3\\m^2=k\cdot k^2\\m=k\cdot\sqrt{k}$

Откуда заключаем (т.к. m натурально), что существует такой натуральный d для которого выполнимо,

$k=d^2$

Подставляя это в прошлое равенство, получаем,

$m=d^3$

Т.е. для того чтобы выполнялось условие,

$m^2 = k^3$

Должно выполняться условие,

$d^4=d^6$

Т.е. только тогда, когда $d = 1$.

Answer 2

Чтобы найти числа, принадлежащие пересечению множеств A и B (то есть числа, которые одновременно являются квадратами и кубами натуральных чисел), нужно найти числа, которые имеют и квадратный корень, и кубический корень в натуральных числах.

Множество квадратов натуральных чисел (A) состоит из чисел, полученных возведением натуральных чисел во вторую степень: A = {1, 4, 9, 16, 25, ...}. Множество кубов натуральных чисел (B) состоит из чисел, полученных возведением натуральных чисел в третью степень: B = {1, 8, 27, 64, 125, ...}.

Таким образом, числа, которые принадлежат пересечению множеств A и B, это числа, которые есть и в A, и в B. Из предложенных вариантов ответа такие числа: 1, 27, и 64.

Подтверждение:

• 1 является квадратом (1^2) и кубом (1^3).
• 27 является квадратом (5^2) и кубом (3^3).
• 64 является квадратом (8^2) и кубом (4^3).