Question

Найдите производную от частного функций f(x)=64x−2 и g(x)=x2 в точке x0=2.

Answer 1

(f(x)/g(x))'= (64x-2/x²)'= ((64x-2)'*x²-(64x-2)*(x²)')/x⁴= (64x²-128x²+4x)/x⁴= (4x-64x²)/x⁴= (4-64x)/x³

(4-64*2)/8= -15,5

Answer 2

Для нахождения производной от частного двух функций f(x) и g(x) в точке x₀, применяем правило дифференцирования частного функций:

$\left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$

Для функций f(x) = 64x^(-2) и g(x) = x^2, найдем производные:

1. Найдем производную f'(x): $f'(x) = \frac{d}{dx} (64x^{-2}) = -128x^{-3}$

2. Найдем производную g'(x): $g'(x) = \frac{d}{dx} (x^2) = 2x$

Теперь, подставим значения производных и x₀ = 2 в формулу для производной частного:

$\left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)' \Bigg|_{x=2} = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2} \Bigg|_{x=2}$

$= \frac{(-128 \cdot 2^{-3}) \cdot (2^2) - (64 \cdot 2^{-2}) \cdot (2)}{(2^2)^2}$

$= \frac{(-128 \cdot \frac{1}{8}) \cdot 4 - (64 \cdot \frac{1}{4}) \cdot 2}{4}$

$= \frac{-16 - 32}{4}$

$= \frac{-48}{4}$

$= -12$

Таким образом, производная частного функций f(x) = 64x^(-2) и g(x) = x^2 в точке x₀ = 2 равна -12.