Question

Доведіть , що значення виразу 39¹⁰⁰ – 1 ділиться націло на 10.

Answer 1

Сделаем несколько перемножения

39² = 1521 — оканчивается на цифру 1

39³ = 59319 — оканчивается на цифру 9

39⁴ = 2313441 — оканчивается на цифру 1

....

39¹⁰⁰ оканчивается на цифру 1

А разность (39¹⁰⁰ - 1) оканчивается на цифру 0, что само собой число делится на 10.

Answer 2

Для того, щоб довести, що значення виразу 39¹⁰⁰ – 1 ділиться націло на 10, ми можемо скористатися властивостями арифметики та конгруентності.

Враховуючи властивість конгруентності, яка стверджує, що якщо a ≡ b (mod n), то a^k ≡ b^k (mod n), де "≡" позначає конгруентність, "mod" означає модуль, а k - ціле число, ми можемо записати:

39^100 ≡ 1^100 (mod 10)

Тепер розглянемо значення 1^100:

1^100 = 1

Отже, ми маємо:

39^100 ≡ 1 (mod 10)

А це означає, що 39^100 і 1 мають однакові залишки при діленні на 10. Значить, щоб довести, що 39^100 – 1 ділиться націло на 10, ми повинні перевірити, чи 1 віднімається з 39^100 без остачі при діленні на 10.

Застосуємо модуль до обох частин рівності:

39^100 ≡ 1 (mod 10)

• 1 ≡ -1 (mod 10)

Отже, ми бачимо, що 1 віднімається з 39^100 без остачі при діленні на 10. Значить, значення виразу 39^100 – 1 ділиться націло на 10.