Question

Определите четность (нечетность) функции f(x)=xsin^3x+cos2x

Answer 1

$f(x)=x\cdot sin^3x+cos2x\\\\f(-x)=-x\cdot sin^3(-x)+cos(-2x)=-x\cdot (-sin^3x)+cos2x=\\\\=x\cdot sin^3x+cos2x=f(x)\\\\f(-x)=f(x)\; \; \; \Rightarrow$

                                  функция чётная

Answer 2

Для определения четности или нечетности функции, нужно рассмотреть два свойства: симметрию функции относительно оси ординат (четность) и симметрию функции относительно начала координат (нечетность).

1. Четность функции f(x): Функция f(x) называется четной, если выполняется условие: f(x) = f(-x) для всех значений x из области определения функции. Если функция является четной, то ее график симметричен относительно оси ординат.

2. Нечетность функции f(x): Функция f(x) называется нечетной, если выполняется условие: f(x) = -f(-x) для всех значений x из области определения функции. Если функция является нечетной, то ее график симметричен относительно начала координат.

Теперь рассмотрим функцию f(x) = x*sin^3(x) + cos(2x):

1. Проверка на четность: Для проверки четности функции необходимо заменить x на -x и убедиться, что выражение остается неизменным: f(-x) = (-x)sin^3(-x) + cos(2(-x)) = -x*(-sin^3(x)) + cos(-2x) = -x*(-sin^3(x)) + cos(2x) (так как cos(-2x) = cos(2x)) = x*sin^3(x) + cos(2x)

Таким образом, функция f(x) не является четной, так как f(x) ≠ f(-x) при некоторых значениях x.

2. Проверка на нечетность: Для проверки нечетности функции необходимо заменить x на -x и убедиться, что выражение поменяет знак: -f(-x) = -(-x)sin^3(-x) - cos(2(-x)) = x*sin^3(x) - cos(2x)

Таким образом, функция f(x) также не является нечетной, так как она не удовлетворяет условию f(x) = -f(-x).

В итоге, функция f(x) = x*sin^3(x) + cos(2x) не обладает ни свойством четности, ни свойством нечетности. Её график не симметричен ни относительно оси ординат, ни относительно начала координат.