Question

Доказать что a/b+b/a больше или равно 2 , известно что ab>0​

Answer 1

Доказательство:

a/b и b/a- это взаимно обратные числа. Если мы возьмём a и b значение=1, то 1+1 будет 2, а ниже числа брать нельзя. А раз это взаимно обратные числа, то они будут восполнять друг друга: 7/6 и 6/7=49/42+36/42=85/42=2 целых 1/42; Можно взять 25/40 и 40/25=320/200+125/200=445/200 и так далее, ведь минимальный предел (единица), уже даёт нам ответ 2.

Answer 2

Для доказательства неравенства a/b + b/a ≥ 2, где ab > 0, можно воспользоваться неравенством между средним гармоническим и средним арифметическим.

Неравенство между средним гармоническим и средним арифметическим: Для положительных чисел x и y справедливо неравенство: 2/((1/x) + (1/y)) ≥ (x + y)/2

Применим это неравенство к a/b и b/a: 2/((1/(a/b)) + (1/(b/a))) ≥ (a/b + b/a)/2

Упрощаем выражение: 2/(b/a + a/b) ≥ (a/b + b/a)/2

Умножим обе части неравенства на (b/a + a/b), применив строгую монотонность функции f(x) = 1/x: 2 ≥ (a/b + b/a)

Таким образом, мы доказали, что a/b + b/a ≥ 2 для ab > 0.