Question

Найдите первообразную cos²x

Answer 1

$\int \, cos^2x\, dx=\int \frac{1+cos2x}{2}\, dx=\frac{1}{2}\int (1+cos2x)\, dx=\frac{1}{2}\cdot (x-\frac{1}{2}\, sin2x)+C$

Answer 2

Чтобы найти первообразную функцию для выражения cos²x, мы можем использовать формулу интеграла для степени синуса:

∫cos²x dx = ∫(1/2)(1 + cos(2x)) dx

Теперь разобъем интеграл на два слагаемых:

∫(1/2)(1 + cos(2x)) dx = (1/2)∫(1 dx + cos(2x) dx)

Интеграл первого слагаемого равен просто x:

= (1/2)(x + ∫cos(2x) dx)

Для интеграла cos(2x) мы можем использовать замену переменной, где u = 2x и du = 2 dx:

= (1/2)(x + (1/2)∫cos(u) du)

= (1/2)(x + (1/2)sin(u) + C)

= (1/2)(x + (1/2)sin(2x) + C)

Итак, первообразная функция для cos²x равна:

F(x) = (1/2)(x + (1/2)sin(2x) + C), где C - произвольная постоянная.