Question

25+27+29+...+(2n-1)=1456 Найти n.

Answer 1

$25+27+29+...+2n-1=\Big(1+3+4+...+2n-1\Big)-1-3-...-23=\\ \\ \\ =\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n-144=\dfrac{1+2n-1}{2}\cdot n-144=n^2-144$

Здесь мы применили формулу суммы n-первых членов арифметической прогрессии в первой скобке.

$n^2-144=1456\\ \\ n^2=1600\\ \\ n=\pm40$

Отрицательное значение n = -40 отбрасываем.

Ответ: n = 40.

Answer 2

Данное уравнение представляет сумму арифметической прогрессии, где первый член равен 25, разность равна 2 (так как каждый следующий член на 2 больше предыдущего), и сумма равна 1456.

Формула для суммы арифметической прогрессии выглядит следующим образом:

S = (n/2) * (2a + (n-1)d),

где S - сумма, a - первый член, d - разность, n - количество членов.

Подставляя известные значения:

1456 = (n/2) * (2 * 25 + (n-1) * 2),

1456 = (n/2) * (50 + 2n - 2),

1456 = (n/2) * (48 + 2n).

Раскроем скобки:

1456 = 24n + n^2.

Получившееся квадратное уравнение выглядит следующим образом:

n^2 + 24n - 1456 = 0.

Мы можем решить это уравнение с помощью факторизации или путем использования квадратного корня.

Факторизуя это уравнение, получим:

(n - 32)(n + 56) = 0.

Таким образом, получаем два возможных значения n: n = 32 или n = -56.

Так как n представляет количество членов в прогрессии, n не может быть отрицательным. Поэтому ответом будет n = 32.