Question

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение имеет не менее 3 корней. x^4-8x^2-9+10a-a^2=0

Answer 1

Ответ: [1; 9].

Объяснение:

Answer 2

Для того чтобы уравнение имело не менее 3 корней, дискриминант должен быть больше или равен нулю. Для квадратного уравнения вида ax^2 + bx + c = 0, дискриминант вычисляется как D = b^2 - 4ac. Если D ≥ 0, то уравнение имеет два различных корня, если D = 0, то уравнение имеет один корень кратности 2, и если D < 0, то уравнение имеет два комплексных корня.

У нас дано уравнение x^4 - 8x^2 - 9 + 10a - a^2 = 0. Приведем его к виду ax^2 + bx + c = 0, чтобы найти соответствующие значения a:

1. Приведем уравнение к виду квадратного: x^4 - 8x^2 - 9 + 10a - a^2 = 0 Перегруппируем: x^4 - 8x^2 + (10a - a^2 - 9) = 0

2. Приравняем коэффициенты к a, b и c: a = 10a - a^2 - 9 a^2 - 9a + 9 = 0

3. Решим полученное квадратное уравнение: Для этого воспользуемся квадратным дискриминантом D = b^2 - 4ac: D = (-9)^2 - 4 * 1 * 9 = 81 - 36 = 45

Так как D > 0, то у нас есть два различных корня для a: a = (9 ± √45) / 2 a = (9 ± 3√5) / 2

Таким образом, уравнение имеет не менее 3 корней для двух значений a:

1. a = (9 + 3√5) / 2
2. a = (9 - 3√5) / 2