Question

Определить сумму коэффициентов a и b линейной убывающей функции f(x)=ax+b, если f(f(1/a))=b и f(f(b))=b.

Answer 1

Вложенность функций -  не проблема)

$f\bigg(\frac{1}{a}\bigg)=a\cdot \frac{1}{a}+b=1+b=b+1;$

$f(b)=a\cdot b+b$

$f\bigg(f\bigg(\frac{1}{a}\bigg)\bigg)=f(b+1)=a\cdot (b+1)+b=b \Rightarrow \boxed{a\cdot (b+1)=0}$

Вот уже получили какое-то соотношение. Вспомним условие: $f(x)$ - линейная убывающая функция, по условию её угловой коэффициент равен $a$, раз функция убывающая, то $a$, то есть $a \neq 0$, то есть мы можем поделить на $a$ без проблем.

$a\cdot (b+1)=0 \bigg | : a \neq 0 \Rightarrow b+1=0 \Rightarrow \boxed{b=-1}$

Вот и коэффициент $b$ нашли. Теперь надо найти второй, для этого есть второе равенство.

$f(f(b))=f(a\cdot b +b)=a\cdot (a\cdot b +b)+b=a\cdot b\cdot (a+1)+b=b \\ a\cdot b\cdot (a+1)=0$

Так как $b=-1$, то есть $b \neq 0$, то можем поделить на него без проблем.

$a\cdot b \cdot (a+1)=0 \bigg | : b \neq 0\Rightarrow a\cdot (a+1)=0 \Rightarrow \left [ {{a=0} \atop {a=-1}} \right.$

Правда, снова вернемся к тому, что функция неубывающая. То есть $a$, значит, первое значение не подойдет.

То есть получаем наши коэффициенты:

$\left \{ {{a=-1} \atop {b=-1}} \right.$

То есть функция имеет вид: $\boxed{f(x)=-x-1}$

Ответ: $f(x)=-x-1$

Answer 2

Для решения этой задачи нам необходимо анализировать уравнения, которые заданы условием.

Итак, начнем с первого уравнения: f(f(1/a)) = b

Заметим, что f(x) = ax + b. Подставим это выражение в первое уравнение: f(f(1/a)) = a(f(1/a)) + b

Далее, по условию дано, что f(f(1/a)) = b, поэтому мы можем заменить f(f(1/a)) на b: b = a(f(1/a)) + b

Теперь у нас есть уравнение, в котором есть только одна неизвестная переменная, а. Мы можем его решить: b - b = a(f(1/a)) 0 = a(f(1/a))

Поскольку f(x) = ax + b, мы можем записать f(1/a) как: f(1/a) = a(1/a) + b f(1/a) = 1 + b

Подставим это значение в уравнение: 0 = a(1 + b)

Рассмотрим второе уравнение: f(f(b)) = b

Аналогично заменим f(x) на ax + b: f(f(b)) = a(f(b)) + b

Заменим f(b) на ab + b: f(f(b)) = a(ab + b) + b f(f(b)) = a^2b + ab + b

Из условия дано, что f(f(b)) = b, поэтому мы можем заменить f(f(b)) на b: b = a^2b + ab + b

Мы можем упростить это уравнение: 0 = a^2b + ab

Решим второе уравнение относительно a: 0 = ab(a + 1)

Исходя из этого уравнения, у нас есть два возможных варианта:

1. a = 0
2. a + 1 = 0, что означает a = -1

Теперь, когда мы имеем два возможных значения для a, мы можем использовать их, чтобы определить значения b.

1. a = 0: Используем уравнение a(f(1/a)) + b = b: 0(f(1/0)) + b = b 0 + b = b Таким образом, для a = 0, сумма коэффициентов a и b равна b.

2. a = -1: Используем уравнение a(f(1/a)) + b = b: -1(f(1/-1)) + b = b -f(-1) + b = b -f(-1) = 0 f(-1) = 0

Теперь используем уравнение f(f(b)) = b для a = -1: f(f(b)) = b f(f(b)) = -b + b f(f(b)) = 0

Таким образом, для a = -1, функция f(x) является постоянной функцией, равной 0. В этом случае сумма коэффициентов a и b также равна 0.

Итак, мы получили два возможных ответа:

1. Для a = 0, сумма коэффициентов a и b равна b.
2. Для a = -1, сумма коэффициентов a и b равна 0.