Question

Нужно вычислить производную! y=(x^2-2x)/(x-1)^2

Answer 1

y = (x²-2x)/x²-2x+1

x²-2x = t, t' = 2x-2

f(t)=t/t+1 = 1-1/t+1

f'(t) = t'/(t+1)²

f'(x) = (2x-2)/(x-1)⁴

Answer 2

Для вычисления производной функции y=(x^2-2x)/(x-1)^2 мы воспользуемся правилом дифференцирования частного и правилом дифференцирования композиции функций.

Первым шагом разложим функцию на два слагаемых:

y = (x^2 - 2x) / (x-1)^2 = x^2 / (x-1)^2 - 2x / (x-1)^2

Затем применим правило дифференцирования к каждому слагаемому по отдельности.

Для первого слагаемого (x^2 / (x-1)^2) мы можем использовать правило дифференцирования частного, где числитель и знаменатель будут дифференцироваться отдельно.

Найдем производную числителя x^2 и знаменателя (x-1)^2 отдельно:

dy_1/dx = (2x(x-1)^2 - x^2 * 2(x-1) * 2) / (x-1)^4 = (2x(x^2 - 2x + 1) - 4x^2(x-1)) / (x-1)^4 = (2x^3 - 4x^2 + 2x - 4x^3 + 4x^2) / (x-1)^4 = (-2x^3 + 2x) / (x-1)^4 = -2x(x^2 - 1) / (x-1)^4

Теперь рассмотрим второе слагаемое (-2x / (x-1)^2):

dy_2/dx = -2(x-1)^2 - (-2x * 2(x-1)) = -2(x-1)^2 + 4x(x-1) = -2(x^2 - 2x + 1) + 4x^2 - 4x = -2x^2 + 4x - 2 + 4x^2 - 4x = 2x^2 - 2

Итак, производная функции y=(x^2-2x)/(x-1)^2 будет равна сумме производных двух слагаемых:

dy/dx = dy_1/dx + dy_2/dx = -2x(x^2 - 1) / (x-1)^4 + 2x^2 - 2