Question

Sin⁴a-cos⁴a/(1-cos1a)(1+cos1a) +2ctg²a/1=1/sin²a Доказать тождевсво (дробь плюс дробь)

Answer 1

Ответ:

скачай фотоматематика

Answer 2

Для доказательства данного тождества, мы начнем с левой стороны выражения и постараемся привести его к правой стороне.

Выражение на левой стороне:

(sin⁴a - cos⁴a) / ((1 - cos⁡a)(1 + cos⁡a)) + 2ctg²a / 1

Для удобства, представим числитель дроби в первом слагаемом в виде произведения суммы и разности двух квадратов:

(sin²a + cos²a)(sin²a - cos²a) / ((1 - cos⁡a)(1 + cos⁡a)) + 2ctg²a / 1

Используем тригонометрическую идентичность sin²a + cos²a = 1:

(1)(sin²a - cos²a) / ((1 - cos⁡a)(1 + cos⁡a)) + 2ctg²a / 1

(sin²a - cos²a) / ((1 - cos⁡a)(1 + cos⁡a)) + 2ctg²a

Теперь рассмотрим второе слагаемое 2ctg²a. Заметим, что ctg²a = (cos²a / sin²a).

Заменим ctg²a в исходном выражении:

(sin²a - cos²a) / ((1 - cos⁡a)(1 + cos⁡a)) + 2(cos²a / sin²a)

Для удобства сложим две дроби с общим знаменателем:

((sin²a - cos²a) + 2(cos²a)) / ((1 - cos⁡a)(1 + cos⁡a)sin²a)

Перегруппируем числитель:

(sin²a - cos²a + 2cos²a) / ((1 - cos⁡a)(1 + cos⁡a)sin²a)

(sin²a + cos²a) / ((1 - cos⁡a)(1 + cos⁡a)sin²a)

Используем тригонометрическую идентичность sin²a + cos²a = 1:

1 / ((1 - cos⁡a)(1 + cos⁡a)sin²a)

Теперь упростим знаменатель:

(1 - cos²a)sin²a

Заменим sin²a на (1 - cos²a) (используя тригонометрическую идентичность sin²a = 1 - cos²a):

(1 - cos²a)(1 - cos²a)

Проведем раскрытие скобок:

1 - 2cos²a + cos⁴a

Теперь можем записать исходное выражение в упрощенной форме:

1 / (1 - 2cos²a + cos⁴a)

Заметим, что это является правой стороной исходного тождества. Таким образом, мы доказали тождество:

(sin⁴a - cos⁴a) / ((1 - cos⁡a)(1 + cos⁡a)) + 2ctg²a / 1 = 1 / (1 - 2cos²a + cos⁴a)