Question

\frac{cos4a*tg2a-sin4a}{cos4a*ctg2a+sin4a}

Answer 1

$\frac{cos4 \alpha \cdot tg2 \alpha -sin4 \alpha }{cos4 \alpha \cdot ctg2 \alpha +sin4 \alpha}= \frac{cos4 \alpha \cdot \frac{sin2 \alpha }{cos2 \alpha } -sin4 \alpha }{cos4 \alpha \cdot \frac{cos2 \alpha }{sin2 \alpha } +sin4 \alpha}= \\ = \frac{cos4 \alpha \cdot sin2 \alpha -sin4 \alpha\cdot cos2 \alpha }{cos4 \alpha \cdot cos2 \alpha +sin4 \alpha\cdot sin2 \alpha}=$
Применяем формулу синуса разности в числителе и косинуса разности в знаменателе:
$sin( \alpha - \beta )=sin \alpha\cdot cos \beta -cos \alpha\cdot sin \beta ; \\ cos( \alpha - \beta )=cos \alpha\cdot cos \beta+sin \alpha\cdot sin \beta$
$= \frac{sin(2 \alpha -4 \alpha )}{cos(4 \alpha -2 \alpha )}= -tg2 \alpha$

Answer 2

Для начала, мы можем упростить данное выражение, используя тригонометрические тождества. Давайте рассмотрим его по частям.

Выражение:

$\frac{\cos(4a)\tan(2a) - \sin(4a)}{\cos(4a)\cot(2a) + \sin(4a)}$

Мы можем использовать тригонометрические тождества для преобразования тангенса и котангенса:

$\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$

$\cot(x) = \frac{1}{\tan(x)} = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$

Подставим эти значения в исходное выражение:

$\frac{\cos(4a)\left(\frac{\sin(2a)}{\cos(2a)}\right) - \sin(4a)}{\cos(4a)\left(\frac{\cos(2a)}{\sin(2a)}\right) + \sin(4a)}$

Далее, мы можем упростить это выражение, умножив числитель и знаменатель на $\cos(2a)$, чтобы избавиться от дробей в знаменателе:

$\frac{\cos(4a)\sin(2a) - \sin(4a)\cos(2a)}{\cos(4a)\cos(2a) + \sin(4a)\sin(2a)}$

Теперь мы можем использовать формулу разности синусов и косинусов:

$\sin(A - B) = \sin(A)\cos(B) - \cos(A)\sin(B)$

И заменить значения в исходном выражении:

$\frac{\sin(4a - 2a)}{\cos(4a - 2a)}$

$\frac{\sin(2a)}{\cos(2a)}$

Итак, ответ на данное выражение равен $\frac{\sin(2a)}{\cos(2a)}$, что эквивалентно $\tan(2a)$.