Question

Решите способом введения дополнительного аргумента уравнение sin2x+cos2x+1=0​

Answer 1

$1)\; \; sin2x+cos2x+1=0\\\\sin2x+cos2x=-1\; |:\sqrt2\\\\\frac{1}{\sqrt2}\cdot sin2x+\frac{1}{\sqrt2}\cdot cos2x=-\frac{1}{\sqrt2}\\\\\star \; \; \frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}=sin\frac{\pi}{4}=cos\frac{\pi}{4}\; \; \star \\\\cos\frac{\pi}{4}\cdot sin2x+sin\frac{\pi}{4}\cdot cos2x=-\frac{\sqrt2}{2}\\\\sin(2x+\frac{\pi}{4})=-\frac{\sqrt2}{2}\\\\2x+\frac{\pi}{4}=(-1)^{n}\cdot (-\frac{\pi}{4})+\pi n\; ,\; n\in Z\\\\2x=-\frac{\pi}{4}+(-1)^{n+1}\cdot \frac{\pi}{4}+\pi n=\frac{\pi}{4}\cdot ((-1)^{n+1}-1)+\pi n\; ,\; n\in Z\\\\x=\frac{\pi}{8}\cdot ((-1)^{n+1}-1)+\frac{\pi n}{2}\; ,\; n\in Z$

Answer 2

Для решения уравнения sin^2(x) + cos^2(x) + 1 = 0, можно ввести дополнительный аргумент, используя следующую замену:

Пусть t = tan(x/2). Тогда можно использовать тригонометрические тождества для связи sin(x) и cos(x) с t:

sin(x) = 2t / (1 + t^2) cos(x) = (1 - t^2) / (1 + t^2)

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

(2t / (1 + t^2))^2 + ((1 - t^2) / (1 + t^2))^2 + 1 = 0

Упростим это уравнение:

4t^2 + (1 - t^2)^2 + (1 + t^2)^2(1 + t^2) = 0

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

4t^2 + (1 - 2t^2 + t^4) + (1 + 2t^2 + t^4)(1 + t^2) = 0

4t^2 + 1 - 2t^2 + t^4 + (1 + 2t^2 + t^4 + t^6) = 0

t^6 + 3t^4 + 6t^2 + 2 = 0

Теперь у нас есть уравнение шестой степени для переменной t. Оно может быть решено численно с использованием численных методов или компьютерных программ.

Полученные значения t могут быть обратно связаны с переменной x с использованием обратных тригонометрических функций:

t = tan(x/2) x = 2 * atan(t)

Таким образом, после решения уравнения для t, мы можем найти соответствующие значения x.