Question

Решите способом введения дополнительного аргумента уравнение: 1)sinx-cosx= 2)sin2x+cos2x+1=0 3)sinx=2-cosx 4)sin2x+cos2x=

Answer 1

/////////////////////////////////////////

Answer 2

1. Для введения дополнительного аргумента можно использовать подстановку $t = \tan \frac{x}{2}$. Тогда $\sin x - \cos x = 2 \sin x \cos \frac{\pi}{4} - 2 \cos x \sin \frac{\pi}{4} = 2 \sin \frac{\pi}{4} (\sin x - \cos x) = 2 \sin \frac{\pi}{4} \cdot \frac{\sin x - \cos x}{\sin \frac{\pi}{4}} = 2 \sqrt{2} (t - 1)$. Таким образом, уравнение $\sin x - \cos x = a$ эквивалентно уравнению $t - 1 = \frac{a}{2 \sqrt{2}}$, которое уже может быть решено методами алгебры.

2. Раскрывая тригонометрические функции в левой части, получаем уравнение $2 \cos^2 x - 1 = 0$. Для введения дополнительного аргумента можно использовать подстановку $t = \cos x$. Тогда уравнение принимает вид $2t^2 - 1 = 0$, которое уже может быть решено методами алгебры.

3. Для введения дополнительного аргумента можно использовать подстановку $t = \tan \frac{x}{2}$. Тогда $\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$ и $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$. Подставляя эти выражения в уравнение $\sin x = 2 - \cos x$, получаем $\frac{2t}{1+t^2} = 3 - \frac{1-t^2}{1+t^2}$, или $t^2 - 2t + 1 = 0$. Это квадратное уравнение имеет корни $t = 1$, которому соответствует $x = 2\pi k$ для любого целого $k$, и $t = 1 - \sqrt{2}$, которому соответствует $x = 2\arctan(1-\sqrt{2}) + 2\pi k$ для любого целого $k$.

4. Раскрывая тригонометрические функции в левой части, получаем уравнение $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Это уравнение всегда выполняется для любого $x$, поэтому решений нет.