Question

Вообщем, нужно доказать что выражение 5x^2+5y^2+5z^2+6xy-8xz-8yz является положительным, при условии, что x^2+y^2+z^2 не обращается в нуль. Вопрос на 30 баллов срочно

Answer 1

Способов решить (а именно разложить в сумму квадратов ) много. Показываю один из вариантов.

Используя формулу квадрата суммы трёх членов:

(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc

раскроем такое выражение:

(2x+2y-2z)^2=4x^2+4y^2+4z^2+8xy-8xz-8yz

Таким образом:

5x^2+5y^2+5z^2+6xy-8xz-8yz=

(2x+2y-2z)^2+x^2+y^2+z^2-2xy=

(2x+2y-2z)^2+(x-y)^2+z^2 .

Сумма квадратов трёх чисел число неотрицательное.

Но может быть равно нулю , когда каждое из этих чисел равно 0.

То есть когда: z=0; x=y; 2x+2y=0; x=-y

То есть: x=y=z=0

Что эквивалентно условию : x^2+y^2+z^2=0

ЧТД

Answer 2

Для доказательства, что выражение 5x^2 + 5y^2 + 5z^2 + 6xy - 8xz - 8yz является положительным при условии, что x^2 + y^2 + z^2 не обращается в нуль, мы можем использовать метод комплетирования квадрата.

Рассмотрим данное выражение и попробуем привести его к сумме квадратов:

5x^2 + 5y^2 + 5z^2 + 6xy - 8xz - 8yz

Для начала, сгруппируем по переменным:

(5x^2 + 6xy) + (5y^2 - 8yz) + (5z^2 - 8xz)

Теперь по каждому слагаемому дополним квадратом некоторую константу:

(5x^2 + 6xy + (3/2)^2y^2) + (5y^2 - 8yz + (4/3)^2z^2) + (5z^2 - 8xz + (4/3)^2x^2)

Заметим, что каждое слагаемое в скобках является полным квадратом:

(√(5x^2 + 6xy + (3/2)^2y^2))^2 + (√(5y^2 - 8yz + (4/3)^2z^2))^2 + (√(5z^2 - 8xz + (4/3)^2x^2))^2

Теперь, давайте рассмотрим каждое из квадратов отдельно.

Для первого квадрата, у нас есть:

5x^2 + 6xy + (3/2)^2y^2 = (2x + 3/2y)^2

Для второго квадрата, у нас есть:

5y^2 - 8yz + (4/3)^2z^2 = (3/2y - 4/3z)^2

Для третьего квадрата, у нас есть:

5z^2 - 8xz + (4/3)^2x^2 = (4/3x - 2z)^2

Теперь мы можем переписать изначальное выражение как:

(2x + 3/2y)^2 + (3/2y - 4/3z)^2 + (4/3x - 2z)^2

Таким образом, мы представили исходное выражение как сумму трех положительных квадратов. Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, а сумма неотрицательных чисел также неотрицательна, мы можем сделать вывод, что выражение 5x^2 + 5y^2 + 5z^2 + 6xy - 8xz - 8yz положительно при условии, что x^2 + y^2 + z^2 не обращается в нуль.

Надеюсь, это решение поможет вам получить максимальный балл за задачу!