Question

1. Найдите область значений функции f(x)=cos^2x+sin x​

Answer 1

f(x)=1-sin^2x+sinx

f`(x)=-2sinx*cosx+cosx=0

cosx(1-2sinx)=0

cosx=0; x=+-pi/2+2pik

sinx=1/2; x=pi/6+2pik; x=5pi/6+2pik

f(pi/2)=1

f(pi/6)=3/4+1/2=1.25

f(5pi/6)=3/4+1/2=1.25

f(-pi/2)=-1

f(x) меняется от -1 до 1.25

Answer 2

Для нахождения области значений функции f(x) = cos^2(x) + sin(x) нужно определить, какие значения может принимать выражение cos^2(x) + sin(x) при изменении аргумента x.

Заметим, что косинус и синус всегда находятся в диапазоне от -1 до 1, то есть -1 ≤ cos(x) ≤ 1 и -1 ≤ sin(x) ≤ 1 для любого значения x.

Теперь, чтобы найти область значений для f(x) = cos^2(x) + sin(x), заметим, что максимальное значение для суммы cos^2(x) + sin(x) будет достигаться, когда и cos^2(x), и sin(x) будут максимальными (т.е., равными 1), а минимальное значение - когда их оба будут минимальными (т.е., равными -1).

Максимальное значение: cos^2(x) + sin(x) ≤ 1 + 1 = 2

Минимальное значение: cos^2(x) + sin(x) ≥ (-1)^2 + (-1) = 1 - 1 = 0

Таким образом, область значений функции f(x) = cos^2(x) + sin(x) находится в интервале [0, 2].