Question

| CP-31 Функция у = х ^2+ px +q Вариант Б-3 1) Методом выделения полного квадрата определите координаты вершин парабол, являю- щихся графиками следующих функций: а) у = х2 - 12x – 7; б) у = х2+ 13х + 1; в) у = х^2 + 3x. 2) Найдите координаты точек пересечения параболы у = x^2 8х + 12 с осями координат. 3) Найдите р и q, если вершиной параболы у = x^2+ px +q является точка C(3; -5).

Answer 1

1. Вершина параболы - это точка минимума(только для данных случаев, так как коэффициент а при x² положительный) квадратичной функции

а) y = x²-12x-7 = x²-2•6•x-7 = x²-12x+36-43 = (x-6)²-43

y min = y(6) = -4

O(6;-43)

б)y = x²+13x+1 = x²+2•13/2x+1 = x²+13x+169/4 - 165/4 = (x+13/2)²-165/4

y min = y(-13/2) = -165/4

O(-13/2; -165/4)

в)y = x²+3x = x²+2•3/2•x = x²+3x+9/4 - 9/4 = (x+3/2)²-9/4

y min = y(-3/2) = -9/4

O(-3/2; -9;4)

2. y= x²+8x+12

Пересечение с OY:

y = 0²+8•0+12 = 12

(0;12)

Пересечение с OX:

x²+8x+12 = 0

Теорема Виетта:

x1+x2 = -8

x1•x2 = 12

x1 = -6

x2 = -2

(-6;0), (-2;0)

3. y = x²+px+q; C(3; -5) - вершина параболы

X c = -b/2a = -p/2 = 3

-p = 6

p = -6

y = x²-6x+q

Y c = y(3) = 9-6•3+q = 9-18+q = q-9 = -5

q = -5+9 = 4

y = x²-6x+4

Answer 2

1. Для нахождения координат вершин параболы методом выделения полного квадрата, используем формулу: у = (х - х₀)² + у₀, где (х₀, у₀) - координаты вершины параболы.

а) Для функции у = х² - 12x - 7: у = (х - 6)² - 7 - 36 = (х - 6)² - 43. Таким образом, вершина параболы имеет координаты (6, -43).

б) Для функции у = х² + 13х + 1: у = (х + 6.5)² - 6.5² + 1 = (х + 6.5)² - 43.75. Таким образом, вершина параболы имеет координаты (-6.5, -43.75).

в) Для функции у = х² + 3х: у = (х + 1.5)² - 1.5². Таким образом, вершина параболы имеет координаты (-1.5, -2.25).

2. Чтобы найти точки пересечения параболы у = х² - 8х + 12 с осями координат, решим уравнение у = 0: х² - 8х + 12 = 0. Это уравнение может быть разложено в виде (х - 2)(х - 6) = 0. Таким образом, парабола пересекает ось х в точках х = 2 и х = 6. Подставим эти значения в исходное уравнение, чтобы найти соответствующие значения у: у(2) = 2² - 8 * 2 + 12 = 4 - 16 + 12 = 0. у(6) = 6² - 8 * 6 + 12 = 36 - 48 + 12 = 0. Таким образом, парабола пересекает ось у в точках (2, 0) и (6, 0).

3. Если вершина параболы у = x² + px + q является точкой C(3, -5), то координаты вершины можно найти путем подстановки этих значений в уравнение параболы: -5 = 3² + 3p + q, или 9 + 3p + q = -5. Таким образом, получаем систему уравнений: 3p + q = -14 (1) 9 + 3p + q = -5 (2). Вычтем уравнение (1) из уравнения (2): 9 + 3p + q - (3p + q) = -5 - (-14), 9 + 3p + q - 3p - q = -5 + 14, 9 - 5 = 14 - 3p, 4 = 14 - 3p, 3p = 14 - 4, 3p = 10, p = 10/3.

Подставим найденное значение p в уравнение (1): 3p + q = -14, 3 * (10/3) + q = -14, 10 + q = -14, q = -14 - 10, q = -24.

Таким образом, р = 10/3 и q = -24.