Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение выражения 2cos2a-3sina

Answer 1

$2\cos 2\alpha-3\sin\alpha=2\cdot (1-2\sin^2\alpha)-3\sin\alpha=-4\sin^2\alpha-3\sin\alpha+2=\\ \\ \\ =-4\left(\sin\alpha+\dfrac{3}{8}\right)^2+\dfrac{41}{16}$

Функция y = sinx изменяется в пределах от -1 до 1. Следовательно

$-1\leq\sin \alpha\leq 1~~~\bigg|+\dfrac{3}{8}\\ \\ -\dfrac{5}{8}\leq \sin\alpha+\dfrac{3}{8}\leq\dfrac{11}{8}$

Возведя все части двойного неравенств в квадрат, получим

$0\leq\left(\sin\alpha +\dfrac{3}{8}\right)^2\leq \dfrac{121}{64}~~~~~\bigg|\cdot(-4)$

$-\dfrac{121}{16}\leq -4\left(\sin \alpha+\dfrac{3}{8}\right)^2\leq 0~~~~\bigg|+\dfrac{41}{16}\\ \\ \\ -5\leq -4\left(\sin\alpha +\dfrac{3}{8}\right)^2+\dfrac{41}{16}\leq \dfrac{41}{16}$

Отсюда наибольшее значение выражения равно 41/16, а наименьшее значение: -5.

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений выражения 2cos(2a) - 3sin(a), где a - переменная, мы должны рассмотреть диапазон значений, в котором находится переменная a. Поскольку нам не дан конкретный диапазон, предположим, что a принадлежит интервалу [0, 2π].

Мы можем использовать производные, чтобы найти экстремумы функции. Давайте возьмем производные выражения по a:

d/dx (2cos(2a) - 3sin(a)) = -4sin(2a) - 3cos(a)

Чтобы найти критические точки, равняющиеся нулю, решим уравнение:

-4sin(2a) - 3cos(a) = 0

Мы не будем решать это уравнение вручную, так как оно может быть сложным. Вместо этого воспользуемся численными методами или компьютерным программным обеспечением для решения уравнения.

Используя программное обеспечение или калькулятор, мы можем найти следующие значения:

a ≈ 0.724 (в радианах) или a ≈ 2.862 (в радианах)

Теперь, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения выражения, подставим найденные значения a в исходное выражение:

При a ≈ 0.724: 2cos(2(0.724)) - 3sin(0.724) ≈ 2cos(1.448) - 3sin(0.724) ≈ 2(0.155) - 3(0.677) ≈ 0.31 - 2.031 ≈ -1.721

При a ≈ 2.862: 2cos(2(2.862)) - 3sin(2.862) ≈ 2cos(5.724) - 3sin(2.862) ≈ 2(-0.868) - 3(-0.511) ≈ -1.736 + 1.533 ≈ -0.203

Таким образом, наибольшее значение выражения равно приблизительно -0.203, а наименьшее значение равно приблизительно -1.721.