Question

Обчислити площу фігури обмеженої лініями :y=x^2-2x+3,y=5-x

Answer 1

Объяснение:

Дано: F(x) = x² -2*x + 3,  y(x)= -x+5

Найти: S=? - площадь фигуры

1) Находим точки пересечения графиков: F(x)=y(x).

-x²+x+2=0 - квадратное уравнение

b =  - верхний предел, a = - 1 - нижний предел.

2) Площадь - интеграл разности функций. Прямая выше параболы.

s(x) =  y(x) - F(x) = -2 -x + x² - подинтегральная функция

3) Интегрируем функцию и получаем:

S(x) = -2*x -1/2*x² + 1/3*x³

4) Вычисляем на границах интегрирования.

S(b) = S(2) = -4 -2 + 2,67 = -3,33

S(a) = S(-1) = 2 -0,5 -0,33 = 1,17    

 S = S(-1)- S(2)  = 4,5(ед.²) - площадь - ответ

Рисунок к задаче в приложении.

Answer 2

Для обчислення площі фігури, обмеженої двома заданими лініями, спочатку необхідно знайти точки їх перетину, які визначають вершини фігури. Потім застосуємо інтеграл для знаходження площі між цими двома кривими.

1. Знаходження точок перетину: Поставимо рівняння двох кривих одне до одного: $y = x^2 - 2x + 3$ та $y = 5 - x$.

Рівняємо $y$ одне до одного: $x^2 - 2x + 3 = 5 - x$.

Тепер перенесемо все в одну сторону та отримаємо квадратне рівняння: $x^2 - 2x + x + 3 - 5 = 0$.

Спростимо: $x^2 - x - 2 = 0$.

Факторизуємо квадратне рівняння: $(x - 2)(x + 1) = 0$.

Звідси отримуємо дві значення $x$: $x = 2$ або $x = -1$.

2. Знаходження відповідних $y$: Підставимо кожне значення $x$ у рівняння $y = x^2 - 2x + 3$ для знаходження відповідних $y$-координат.

Для $x = 2$: $y = 2^2 - 2 \cdot 2 + 3 = 4 - 4 + 3 = 3$.

Для $x = -1$: $y = (-1)^2 - 2 \cdot (-1) + 3 = 1 + 2 + 3 = 6$.

Таким чином, отримали дві вершини фігури: (2, 3) та (-1, 6).

3. Обчислення площі фігури: Тепер, маючи вершини фігури, можемо обчислити площу між двома кривими. Площу можна знайти за допомогою інтегралу, взявши модуль різниці між площами обмеженими двома кривими.

Площа обмежена двома кривими дорівнює: $\text{Площа} = \left|\int_{a}^{b} (y_1 - y_2) dx\right|$,

де $y_1$ та $y_2$ - рівняння кривих, а $a$ та $b$ - координати точок перетину (вершини фігури).

У нашому випадку: $\text{Площа} = \left|\int_{-1}^{2} ((x^2 - 2x + 3) - (5 - x)) dx\right|$.

Спростимо інтеграл та обчислимо його: $\text{Площа} = \left|\int_{-1}^{2} (x^2 - 2x + 3 - 5 + x) dx\right|$.

$\text{Площа} = \left|\int_{-1}^{2} (x^2 - x - 2) dx\right|$.

$\text{Площа} = \left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 2x\right]_{-1}^{2}$.

$\text{Площа} = \left[\frac{2^3}{3} - \frac{2^2}{2} - 2 \cdot 2\right] - \left[\frac{(-1)^3}{3} - \frac{(-1)^2}{2} - 2 \cdot (-1)\right]$.

$\text{Площа} = \left[\frac{8}{3} - 2 - 4\right] - \left[-\frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 2\right]$