Question

Теорема Виета Сократи дробь (x+8) : x^2+22x+112 (x вводи в английской раскладке)

Answer 1

Если дискриминантом пользоваться нельзя, а только лишь теоремой Виета, то решение примерно таково.

Простым перебором возможных корней, которые должны быть делителями 112, найдём первый корень $x_1=-8$. Тогда второй корень находится из уравнения:

$x_1 \cdot x_2=112\\-8 \cdot x_2=112 \\\\x_2=\dfrac{112}{-8}=-14$

Разложение на множители приведённого квадратного уравнения имеет вид $x^2+px+q=(x-x_1)(x-x_2)$. В нашем случае:

$x^2+22x+112=(x+8)(x+14)$

Теперь можем сократить дробь:

$\dfrac{x+8}{(x+8)(x+14)}=\dfrac{1}{x+14}.$

Ответ: $\dfrac{1}{x+14}$ (при $x \neq -8$).

Answer 2

Теорема Виета не относится к дробям, но я могу помочь вам упростить данное выражение.

Итак, у нас есть дробное выражение:

$\frac{{x+8}}{{x^2+22x+112}}$

Чтобы упростить его, сначала проверим, можно ли его сократить. Для этого найдем корни квадратного уравнения в знаменателе $x^2+22x+112$.

Дискриминант $D$ этого уравнения можно найти по формуле: $D = b^2 - 4ac$, где $a = 1$, $b = 22$ и $c = 112$.

$D = 22^2 - 4 \cdot 1 \cdot 112 = 484 - 448 = 36$

Так как дискриминант положительный ($D > 0$), уравнение имеет два различных корня.

Корни $x_1$ и $x_2$ можно найти с использованием формулы Виета:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{22}{1} = -22$

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{112}{1} = 112$

Теперь, когда мы знаем корни квадратного уравнения, мы можем разложить его на простые дроби:

$\frac{{x+8}}{{x^2+22x+112}} = \frac{{x+8}}{{(x+x_1)(x+x_2)}} = \frac{{x+8}}{{(x-(-22))(x-112)}}$

Таким образом, данная дробь не может быть дополнительно сокращена.