Question

Знайдіть всі тригонометричні функції , якщо tgA = √3​

Answer 1

$\tan(x) = \sqrt{3}$

Так як tg(x)ctg(x) = 1, то

$\cot(x) = \frac{1}{ \tan(x) } \\ \cot(x) = \frac{1}{ \sqrt{3} } \\ \cot(x) = \frac{ \sqrt{3} }{3}$

Знайдемо косинус за формулою:

$\tan^{2} (x) = \frac{1}{ \cos^{2}(x) } - 1 \\ \frac{1}{ \cos^{2}(x) } = \tan^{2} (x) + 1 \\ \cos^{2} (x) = \frac{1}{\tan^{2} (x) + 1} \\ \cos(x) = \sqrt{ \frac{1}{\tan^{2} (x) + 1} }$

Підставляємо:

$\cos(x) = \sqrt{ \frac{1}{ { (\sqrt{3} )}^{2} + 1} } \\ \cos(x) = \sqrt{ \frac{1}{4} } \\ \cos(x) = \frac{1 }{2}$

За основною тригонометричною тотожністю:

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1 \\ \sin(x) = \sqrt{1 - \cos^{2} (x)}$

Тоді:

$\sin(x) = \sqrt{1 - {( \frac{1 }{2} ) }^{2} } \\ \sin(x) = \sqrt{ \frac{3}{4} } \\ \sin(x) = \frac{ \sqrt{3} }{2}$

Answer 2

Щоб знайти всі тригонометричні функції для кута A, з відомим значенням tgA = √3, можна використати відповідні тригонометричні тотожності та співвідношення між тригонометричними функціями. Давайте знайдемо кожну функцію окремо:

1. tgA = √3 За визначенням, tgA = sinA / cosA. Тому, ми можемо записати: sinA / cosA = √3 sinA = √3 * cosA

2. Використовуючи співвідношення між тригонометричними функціями, знаходимо значення sinA: sin^2A + cos^2A = 1 (√3 * cosA)^2 + cos^2A = 1 3 * cos^2A + cos^2A = 1 4 * cos^2A = 1 cos^2A = 1 / 4 cosA = ± 1/2

3. Підставимо значення cosA в отриману раніше формулу sinA = √3 * cosA: sinA = √3 * (± 1/2) sinA = ± √3 / 2

Тепер ми можемо знайти інші тригонометричні функції:

sinA: sinA = ± √3 / 2

cosA: cosA = ± 1/2

tanA: tanA = sinA / cosA tanA = (± √3 / 2) / (± 1/2) tanA = ± √3

cotA: cotA = 1 / tanA cotA = 1 / (± √3) cotA = ± 1 / √3 cotA = ± √3 / 3

secA: secA = 1 / cosA secA = 1 / (± 1/2) secA = ± 2

cscA: cscA = 1 / sinA cscA = 1 / (± √3 / 2) cscA = ± 2 / √3 cscA = ± 2√3 / 3

Отже, всі значення тригонометричних функцій для кута A з tgA = √3 такі: sinA = ± √3 / 2 cosA = ± 1/2 tanA = ± √3 cotA = ± √3 / 3 secA = ± 2 cscA = ± 2√3 / 3