Question

Если tg^4a+ctg^4a=14 найдите tga+ctga

Answer 1

$tg^4a+ctg^4a=14\\\\\\(tga+ctga)^2=tg^2a+ctg^2a+2\underbrace {tga\cdot ctga}_{1}=tg^2a+ctg^2a+2\; \; \Rightarrow \\\\tg^2a+ctg^2a=(tga+ctga)^2-2\; \; \Rightarrow \\\\(tg^2a+ctg^2a)^2=\Big ((tga+ctga)^2-2\Big )^2\\\\\underbrace {tg^4a+ctg^4a}_{14}+2\cdot \underbrace {tg^2a\cdot ctg^2a}_{1}=(tga+ctga)^4-4(tga+ctga)^2+4\\\\16=(tga+ctga)^4-4(tga+ctga)^2+4\\\\(tga+ctga)^4-4(tga+ctga)^2-12=0\\\\Teorema\; Vieta:\; \; (tga+ctga)^2=-2$

$P.S.\qquad tga\cdot ctga=\frac{sina}{cosa}\cdot \frac{cosa}{sina}=1\\\\tg^2a\cdot ctg^2a=(tga\cdot ctga)^2=1^2=1$

Answer 2

Для решения этой задачи давайте введем следующие обозначения:

• tg(a) - обозначим как x
• ctg(a) - обозначим как y

Тогда у нас есть два уравнения:

1. x^4 + y^4 = 14 ... (уравнение 1)
2. x + y = ? ... (уравнение 2)

Теперь решим уравнение 1 относительно x^4:

x^4 = 14 - y^4

Теперь заменим x^4 на 14 - y^4 в уравнении 2:

(14 - y^4) + y = ?

Теперь объединим слагаемые:

14 - y^4 + y = ?

Уравнение 2 стала уравнением относительно y. Найдем значение y:

y^4 - y + 14 = 0

Это уравнение четвертой степени, которое может быть сложно решить аналитически. Однако мы можем использовать численные методы для приближенного нахождения корней.

Пожалуйста, уточните уравнение 2 или предоставьте дополнительную информацию, если вы имели в виду другое уравнение.