Question

помогите пожалуйста с заданием...2) Упростить выражение: sin2 α(1 + ctgα) + cos2α(1 + tg2)3) По заданному значению функции найдите значение остальных тригонометрических функций:cost = - 24/25, n<t< 3n/24) Вычислите с помощью формул приведения:sin 3900 sin 1500 + cos 2100 cos 1500 + tg 2400 tg 21001+tga+tg"2"a / 1+ctga+ctg"2"a = tg"2"a5) Докажите тождество:1+tga+tg"2"a / 1+ctga+ctg"2"a = tg"2"a

Answer 1

2. Запишите tg и ctg через sin и cos и раскройте скобки.

3. sint = корень(1-cos^t), ответ получите плюс-минус. Выберите тот, которые соответствует π<t< 3π/2 (III четверть, синус отрицательный). Тангенс и котангенс найдите через sin и cos.

4. 3900 = 180*21 + 120 = 21π + 2π/3 = π + 2π/3 = 2π - π/3

1500 = 180*8 + 60 = 8π + π/3 = π/3

2100 = 180*11 + 120 = 11π + 2π/3 = π + 2π/3 = 2π - π/3

2400 = 180*13 + 60 = 13π + π/3 = π + π/3

Дальше всё просто по формулам приведения.

5. В левой части запишите tg и ctg через sin и cos. Приведите сначала числитель исходного выражения к общему знаменателю, затем знаменатель. Деление на дробь - это умножение на перевёрнутую дробь. Там всё сократится, останется лишь sin^2 a/cos^2 a = tg^2 a.

Если что-то непонятно - стучите в личку.

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое из ваших заданий по порядку.

1. Упростить выражение: \[ \sin^2 \alpha (1 + \cot \alpha) + \cos^2 \alpha (1 + \tan^2 \alpha) \]

Для упрощения воспользуемся тригонометрическими тождествами: \[ \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} \quad \text{и} \quad 1 + \tan^2 \alpha = \sec^2 \alpha \]

Подставим эти выражения в исходное: \[ \sin^2 \alpha \left(1 + \frac{1}{\tan \alpha}\right) + \cos^2 \alpha \sec^2 \alpha \]

Теперь выразим \(\tan \alpha\) через \(\sin \alpha\) и \(\cos \alpha\), используя тождество \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\): \[ \sin^2 \alpha \left(1 + \frac{1}{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}\right) + \cos^2 \alpha \sec^2 \alpha \]

Упростим дробь: \[ \sin^2 \alpha \left(1 + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\right) + \cos^2 \alpha \sec^2 \alpha \]

Теперь раскроем скобки и упростим: \[ \sin^2 \alpha + \cos \alpha + \cos^2 \alpha \sec^2 \alpha \]

Используем тождество \(\sec^2 \alpha = 1 + \tan^2 \alpha\): \[ \sin^2 \alpha + \cos \alpha + \cos^2 \alpha (1 + \tan^2 \alpha) \]

Подставим \(\tan^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}\): \[ \sin^2 \alpha + \cos \alpha + \cos^2 \alpha \left(1 + \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}\right) \]

Упростим: \[ \sin^2 \alpha + \cos \alpha + \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha \]

И, наконец, воспользуемся тождеством \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\): \[ 1 + \cos \alpha \]

2. Найти значения остальных тригонометрических функций: \[ \cos t = -\frac{24}{25}, \quad n < t < \frac{3n}{2} \]

По заданному значению \(\cos t\) мы можем найти \(\sin t\) с использованием тождества \(\sin^2 t + \cos^2 t = 1\): \[ \sin t = \pm \sqrt{1 - \cos^2 t} \] Значение \( \sin t \) будет положительным, так как \( t \) находится во втором квадранте.

Теперь используем определения тангенса и котангенса: \[ \tan t = \frac{\sin t}{\cos t} \quad \text{и} \quad \cot t = \frac{\cos t}{\sin t} \]

Отрицательное значение \(\cos t\) и положительное значение \(\sin t\) во втором квадранте приводят к тому, что \(\tan t\) и \(\cot t\) будут отрицательными.

Теперь найдем значения секанса и косеканса: \[ \sec t = \frac{1}{\cos t} \quad \text{и} \quad \csc t = \frac{1}{\sin t} \]

Подставим известные значения и упростим.

3. Вычислить с помощью формул приведения: \[ \sin 3900 + \sin 1500 + \cos 2100 + \cos 1500 + \tan 2400 + \tan 2100 \]

Используем периодичность тригонометрических функций: \( \sin(x + 2\pi k) = \sin x \), \( \cos(x + 2\pi k) = \cos x \), \( \tan(x + \pi k) = \tan x \), где \( k \) - целое число.

Таким образом, мы можем выразить углы \( 3900^\circ \), \( 1500^\circ \), \( 2100^\circ \) и \( 2400^\circ \) через углы меньшей величины.

Например: \[ \sin 3900^\circ = \sin (3600^\circ + 300^\circ) = \sin 300^\circ \]

Таким образом, задача сводится к вычислению синусов, косинусов и тангенсов углов в стандартном диапазоне (от 0 до 360 градусов). Используйте тригонометрические тождества и периодичность функций для упрощения.

4. Доказать тождество: \[ \frac{1 + \tan^2 a}{1 + \cot^2 a} = \tan^2 a \]

Начнем с левой стороны: \[ \frac{1 + \tan^2 a}{1 + \cot^2 a} \]

Раскроем \(\cot^2 a\) как \(\frac{1}{\tan^2 a}\): \[ \frac{1 + \tan^2 a}{1 + \frac{1}{\tan^2 a}} \]

Умножим числитель и знаменатель на \(\tan^2 a