Question

Найдите остаток при деление числа 3^86 на число 5(Решение) Помогите пожалуйста

Answer 1

Последние цифры в степенях тройки чередуются в порядке:

1; 3; 9; 7:

3⁰ = 1    3¹ = 3    3² = 9    3³ = 27   3⁴ = 81 и т.д.

Очевидно, что степень тройки 3⁴ⁿ будет оканчиваться на единицу.

Тогда:

3⁸⁶ : 5 = (3⁴)²¹ · 3² : 5

Так как число (3⁴)²¹ оканчивается на единицу, то число (3⁴)²¹ · 3² оканчивается на 9 и остаток при делении этого числа на 5 будет равен 4.

Answer 2

Конечно, я помогу с решением!

Чтобы найти остаток от деления числа 3^86 на 5, можно воспользоваться свойствами модульной арифметики.

1. Начнем с того, что заметим, что остаток от деления числа на 5 зависит только от последней цифры этого числа. Например, 3, 13, 23, 33, и т.д. имеют один и тот же остаток при делении на 5, потому что разница между ними кратна 10 (10, 20, 30, и т.д.), и, следовательно, они делятся на 5 с тем же остатком.

2. Теперь давайте рассмотрим остатки степеней числа 3 при делении на 5: 3^1 = 3 (остаток 3 при делении на 5) 3^2 = 9 (остаток 4 при делении на 5) 3^3 = 27 (остаток 2 при делении на 5) 3^4 = 81 (остаток 1 при делении на 5) 3^5 = 243 (остаток 3 при делении на 5) 3^6 = 729 (остаток 4 при делении на 5) 3^7 = 2187 (остаток 2 при делении на 5) 3^8 = 6561 (остаток 1 при делении на 5) ... и так далее

Мы видим, что остатки повторяются с периодом 4: 3, 4, 2, 1.

3. Теперь нам нужно найти остаток от деления 86 на 4, чтобы определить, какой остаток у 3^86. 86 / 4 = 21 с остатком 2.

4. Зная период остатков степеней 3 (3, 4, 2, 1) и остаток от деления 86 на 4 (2), мы можем определить остаток от деления 3^86 на 5.

Поскольку остаток от деления 86 на 4 равен 2, остаток от деления 3^86 на 5 будет 2-й элементом в периоде остатков, то есть 4.

Итак, остаток от деления 3^86 на 5 равен 4.