Question

Решите пожалуйста1+sin2x=2sinx+cosx​

Answer 1

$1+\sin2x=2\sin x+\cos x\\1+2\sin x\cos x=2\sin x+\cos x\\2\sin x\cos x-2\sin x-\cos x+1=0\\2\sin x(\cos x-1)-(\cos x-1)=0\\(\cos x-1)(2\sin x-1)=0$

$\left[\begin{array}{l} \cos x-1=0 \\ 2\sin x-1=0\end{array}$

$\left[\begin{array}{l} \cos x=1 \\ \sin x=\dfrac{1}{2}\end{array}$

$\left[\begin{array}{l} x_1=2\pi n, \ n\in\mathbb{Z} \\ x_2=(-1)^k\dfrac{\pi }{6}+\pi k, \ k\in\mathbb{Z} \end{array}$

Ответ: $2\pi n$ и $(-1)^k\dfrac{\pi }{6}+\pi k$, где n и k - целые числа

Answer 2

Для решения данного уравнения сначала преобразуем его, используя тригонометрические тождества.

1 + sin(2x) = 2sin(x) + cos(x)

Применим тождество для синуса двойного угла: sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

Подставим это в уравнение:

1 + 2sin(x)cos(x) = 2sin(x) + cos(x)

Теперь приведем все слагаемые, содержащие sin(x), на одну сторону уравнения:

2sin(x)cos(x) - 2sin(x) - cos(x) + 1 = 0

Сгруппируем слагаемые:

sin(x)(2cos(x) - 2) - (cos(x) - 1) = 0

Разложим на множители:

sin(x)(2cos(x) - 2) - (cos(x) - 1) = 0

sin(x)(2(cos(x) - 1)) - (cos(x) - 1) = 0

(2cos(x) - 2)(sin(x) - 1) = 0

Теперь у нас есть два уравнения:

1. 2cos(x) - 2 = 0
2. sin(x) - 1 = 0

Решим каждое из этих уравнений по отдельности.

1. 2cos(x) - 2 = 0 2cos(x) = 2 cos(x) = 1 x = 0 + 2πn, где n - целое число

2. sin(x) - 1 = 0 sin(x) = 1 x = π/2 + 2πn, где n - целое число

Таким образом, решениями исходного уравнения являются x = 0 + 2πn и x = π/2 + 2πn, где n - целое число.