Question

Расскажите об интегрировании методом замены переменной в неопределенном

Answer 1

Ответ:

Найти неопределенный интеграл.  

Идея метода замены состоит в том, чтобы сложное выражение (или некоторую функцию) заменить одной буквой.В данном случае напрашивается:Вторая по популярности буква для замены – это буква. В принципе, можно использовать и другие буквы, но мы всё-таки будем придерживаться традиций.

Итак: Но при замене у нас остаётся! Наверное, многие догадались, что если осуществляется переход к новой переменной, то в новом интеграле всё должно быть выражено через букву, и дифференциалутам совсем не место. Следует логичный вывод, чтонужнопревратить в некоторое выражение, которое зависит только от .

Действие следующее. После того, как мы подобрали замену, в данном примере,  , нам нужно найти дифференциал. Так как, то

После разборок с дифференциалом окончательный результат рекомендую переписать максимально коротко: Теперь по правилам пропорции выражаем нужный нам:

В итоге: Таким образом:А это уже самый что ни на есть табличный интеграл(таблица, интегралов, естественно, справедлива и для переменной).

В заключении осталось провести обратную замену. Вспоминаем, что.

Готово.

Объяснение:

Answer 2

Интегрирование методом замены переменной, также известное как метод подстановки или метод переменных, является одним из основных методов интегрирования. Он используется для решения определенных и неопределенных интегралов, особенно тех, которые содержат сложные функции в аргументе. Метод замены переменной позволяет упростить интеграл, заменяя переменную интегрирования на новую, такую, которая делает интеграл более удобным для вычисления.

Рассмотрим неопределенный интеграл вида:

∫ f(g(x)) * g'(x) dx

где f(u) и g(x) - непрерывные функции, а g'(x) - производная функции g(x) по переменной x.

Для решения этого интеграла методом замены переменной, мы следуем нескольким шагам:

1. Выбираем новую переменную u = g(x), что позволяет нам выразить все вхождения x через u.
2. Вычисляем производную u относительно x (du/dx).
3. Заменяем dx на соответствующее выражение с помощью производной du/dx.
4. Заменяем все вхождения x в исходном интеграле на u.
5. Теперь интегрируем по u.
6. В результате получаем интеграл только от u, который, возможно, будет легче проинтегрировать.
7. Наконец, заменяем u на исходную переменную x.

Пример:

Допустим, мы хотим решить интеграл ∫ 2x * (x^2 + 1)^3 dx.

1. Выбираем новую переменную u = x^2 + 1, тогда du/dx = 2x (для простоты совпало с исходным выражением).
2. Заменяем dx на выражение с помощью производной: dx = du / (2x).
3. Заменяем x^2 + 1 на u.
4. Теперь интеграл становится ∫ 2x * u^3 * (du / 2x).
5. Упрощаем: ∫ u^3 du.
6. Интегрируем по u: (u^4) / 4 + C, где C - постоянная интегрирования.
7. Заменяем обратно u на x^2 + 1: (x^2 + 1)^4 / 4 + C.

Итак, ответ: ∫ 2x * (x^2 + 1)^3 dx = (x^2 + 1)^4 / 4 + C.

Метод замены переменной может быть сложнее в случае более сложных функций и интегралов, но он позволяет облегчить интегрирование во многих случаях.