Question

Исследуйте функцию y=(3-x^2)^2 и постройте её график.

Answer 1

Ответ:

===============================

Объяснение:

Answer 2

Для исследования функции и построения её графика, мы можем рассмотреть несколько основных характеристик: область определения, интервалы возрастания и убывания, экстремумы и поведение функции на бесконечности.

1. Область определения: Функция y=(3-x^2)^2 определена для всех действительных значений x.

2. Интервалы возрастания и убывания: Чтобы найти интервалы возрастания и убывания функции, необходимо найти её производную и проанализировать знаки производной на различных интервалах.

   Давайте найдем производную функции: y' = 2(3-x^2)(-2x)

   Затем приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: 2(3-x^2)(-2x) = 0

   Получаем два решения: x = 0 и x = ±√3.

   Теперь рассмотрим интервалы между критическими точками и на экстремальных точках:

   Для x < -√3: Выбираем x = -4, например. Тогда 3 - x^2 > 0, и (3 - x^2)^2 > 0. Значит, функция возрастает на этом интервале.

   Для -√3 < x < 0: Выбираем x = -1, например. Тогда 3 - x^2 > 0, и (3 - x^2)^2 > 0. Значит, функция возрастает на этом интервале.

   Для 0 < x < √3: Выбираем x = 1, например. Тогда 3 - x^2 > 0, и (3 - x^2)^2 > 0. Значит, функция возрастает на этом интервале.

   Для x > √3: Выбираем x = 4, например. Тогда 3 - x^2 < 0, и (3 - x^2)^2 > 0. Значит, функция убывает на этом интервале.

   Итак, функция возрастает на интервалах (-∞, -√3), (-√3, 0), и (0, √3), и убывает на интервале (√3, +∞).

3. Экстремумы: Чтобы найти экстремумы функции, мы должны исследовать её поведение в критических точках.

   При x = 0: Подставляя x = 0 в исходную функцию, получаем y = (3 - 0^2)^2 = 9. Таким образом, точка (0, 9) является минимумом функции.

   При x = ±√3: Подставляя x = ±√3 в исходную функцию, получаем y = (3 - (√3)^2)^2 = (3 - 3)^2 = 0. Таким образом, точки (-√3, 0) и (√3, 0) являются точками перегиба.

4. Поведение функции на бесконечности: При x -> ±∞, функция стремится к бесконечности. Она не имеет горизонтальных асимптот.

Теперь, когда мы рассмотрели основные характеристики функции, давайте построим её график:

[Далее приведён код для построения графика в программе Python с использованием библиотеки Matplotlib]

pythonCopy code
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Задаем диапазон значений x
x = np.linspace(-4, 4, 400)

# Вычисляем соответствующие значения y
y = (3 - x**2)**2

# Строим график
plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('График функции y = (3 - x^2)^2')
plt.grid(True)
plt.show()

График функции y = (3 - x^2)^2 будет выглядеть как парабола с минимумом в точке (0, 9) и точками перегиба в (-√3, 0) и (√3, 0).