Question

(a^2 - 1) * (1/а^2-2а+1 + 1/а^2-1) + 2/a+1 Доказать, что значение выражения не зависит от a

Answer 1

$(a^{2} -1)*(\frac{1}{a^{2} -2a+1} +\frac{1}{a^{2}-1 } )+\frac{2}{a+1} =$

Answer 2

Для доказательства, что значение данного выражения не зависит от переменной a, мы должны показать, что выражение принимает одинаковое значение для любого значения a. Давайте разберемся с выражением по частям и упростим его.

Начнем с выражения (а^2 - 1) * (1/а^2-2а+1 + 1/а^2-1):

(а^2 - 1) * (1/а^2-2а+1 + 1/а^2-1) = = (а^2 - 1) * (1/(а-1)^2 + 1/а^2-1).

Теперь рассмотрим вторую часть выражения, 2/(а+1):

2/(а+1) = 2/(а+1).

Мы видим, что эта часть выражения не содержит переменной a.

Теперь объединим две части выражения:

(а^2 - 1) * (1/(а-1)^2 + 1/а^2-1) + 2/(а+1).

Для доказательства, что это выражение не зависит от переменной a, мы должны показать, что оно принимает одинаковое значение для любого значения a.

Раскроем скобки в первой части выражения:

(а^2 - 1) * (1/(а-1)^2 + 1/а^2-1) = = (а^2 - 1) * (1/(а^2 - 2а + 1) + 1/(а^2 - 1)).

Теперь мы можем объединить общие множители в числителях:

(а^2 - 1) * (1/(а^2 - 2а + 1) + 1/(а^2 - 1)) = = [(а^2 - 1) * (1 + 1)] / [(а^2 - 2а + 1) * (а^2 - 1)] = = 2(а^2 - 1) / [(а^2 - 2а + 1) * (а^2 - 1)].

Заметим, что в числителе у нас есть множитель (а^2 - 1), который является общим с множителем в знаменателе. Поэтому эти множители сокращаются, и мы получаем:

2(а^2 - 1) / [(а^2 - 2а + 1) * (а^2 - 1)] = = 2 / (а^2 - 2а + 1).

Теперь мы видим, что выражение 2 / (а^2 - 2а + 1) не зависит от переменной a, так как в знаменателе нет переменных. Следовательно, исходное выражение (а^2 - 1) * (1/а^2-2а+1 + 1/а^2-1) + 2/а+1 также не зависит от переменной a, и оно принимает одинаковое значение для любого значения a.