Question

Задача 1.50. Верно ли, что любое простое число, больпее 3, можно представить в виде 6n-1 или 6n+1? Bерно ли обратное утверждение? ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА

Answer 1

Ответ:

верно , обратное нет

Объяснение:

пусть р - простое , рассмотрим остатки от деления р на 6 :

 p = 6b + q ,  где  0 ≤ q ≤ 5 , если q = 2 ,  то p = 2(3b+1) , это

число четно и больше 2 , значит не простое , если q = 3 , то    

p = 3(2q+1) ,  это число кратно 3 и больше 3 и значит также не

простое , если q = 4 ,  то p = 2( 3b + 2) , это число четно и

больше 2 и следовательно не простое , если q = 0 , то p

 кратно 6 и не может быть простым , остаются 2 варианта : 1)

q= 1 ,  то есть p = 6b+1   и 2) q = 5 ⇒ p = 6b + 5 = 6b+6-1 =    

6(b+1) - 1 = 6k -1 ,  а значит любое простое имеет вид :  p = 6n±1

обратное утверждение неверно :  например число 35 = 6·6 - 1

, но простым число 35  не является

Answer 2

Да, это утверждение верно. Это известное свойство простых чисел, которое называется "теоремой о делимости на 6". Согласно этой теореме, любое простое число, большее 3, можно представить в виде 6n-1 или 6n+1, где n - целое число.

Обратное утверждение, однако, не верно. Не все числа вида 6n-1 или 6n+1 являются простыми. Например, число 9 представимо в виде 6*2-1 и не является простым.