Question

Пусть x,y – натуральные числа. Известно, что произведение xy^2 = 18187092 . На какую максимальную степень тройки может делиться x^2+y^2?

Answer 1

Ответ:

6

Объяснение:

18187092 = 3¹⁰ * 308

возможны несколько вариантов:

1) х делится на 3, у - не делится на 3

тогда х² + у² не делится на 3

2) х не делится на 3, у делится на 3

тогда х² + у² не делится на 3

3) оба числа делятся на 3

х = 3a, y = 3b

xy² = 3³ab² = 3¹⁰ * 308

ab = 3⁷ * 308

если а или b не делятся на 3, то степень тройки у х² + у² равна 2

если а делится на 3 и b делится на 3, то

a = 3c; b = 3d

3³cd² = 3⁷ * 308

cd² = 3⁴ * 308

аналогично, если с или d не делятся на 3, то степень тройки у х² + у² равна 4

если оба делятся на 3, то

c = 3m; d = 3n

3³mn² = 3⁴ * 308

mn² = 3 * 308

отсюда очевидно n не делится на 3, а m делится на 3 = > m = 3k, k не делится на 3

x = 3a = 3*3c = 3 * 3 * 3 * 3k

y = 3b = 3 * 3d = 3 * 3 * 3n

x² + y² = (3⁴k)² + (3³n)² = 3⁶(9k + n), где 9k + n не делится на 3

значит, максимальная степень - 6

Answer 2

Чтобы найти максимальную степень тройки, на которую делится сумма квадратов $x^2 + y^2$, нам необходимо разложить произведение $xy^2 = 18187092$ на простые множители и выяснить, какие из них являются множителями тройки.

Разложим $18187092$ на простые множители:

$18187092 = 2^2 \times 7 \times 17 \times 31 \times 41 \times 59$

Мы видим, что тройка не входит в разложение числа $18187092$ на простые множители. Это означает, что $x^2 + y^2$ не делится на тройку ни на какую степень.

Таким образом, наибольшая степень тройки, на которую может делиться $x^2 + y^2$, равна $0$.