Question

Докажите, что при любом целом n значение выражения (7n-2)²-(2n-7)² делится без остатка на 5; на 9​

Answer 1

a² - b² = (a - b)(a + b)

(7n-2)²-(2n-7)² = ((7n - 2) - (2n - 7)) * ((7n - 2) + (2n - 7)) = (5n + 5)(9n - 9) = 5*(n + 1)*9*(n - 1)

если в произведение один из множителей кратен 5, то и все произведение делится на 5

если в произведение один из множителей кратен 9, то и все произведение делится на 9

Answer 2

(7n-2)²-(2n-7)²=

=(7n-2-2n+7)(7n-2+2n-7)=

=(5n+5)(9n-9)=5(n+1)•9(n-1)=

=5•9•(n²-1)

делится на 5 и на 9

использована формула

a²-b²=(a-b)(a+b)

Answer 3

Давайте докажем, что выражение $(7n-2)^2-(2n-7)^2$ делится на 5 при любом целом $n$.

Раскроем квадраты и упростим выражение: $(7n-2)^2-(2n-7)^2 = (49n^2 - 28n + 4) - (4n^2 - 28n + 49)$ Упростим дальше: $49n^2 - 28n + 4 - 4n^2 + 28n - 49 = 45n^2 - 45$

Теперь докажем, что $45n^2 - 45$ делится на 5 для любого целого $n$.

Заметим, что $45n^2 - 45$ можно факторизовать следующим образом: $45n^2 - 45 = 5(9n^2 - 9)$

Таким образом, мы видим, что $45n^2 - 45$ является произведением 5 и целого числа $(9n^2 - 9)$, что означает, что оно делится на 5 без остатка для любого целого $n$.

Таким образом, мы доказали, что выражение $(7n-2)^2-(2n-7)^2$ делится без остатка на 5 для любого целого $n$.

Аналогично можно доказать, что это выражение делится на 9 для любого целого $n$.