Question

Вершины прямоугольного треугольника АВС (угол с равен 90 градусов) принадлежат сфере. Катеты треугольника 6 и 8. Радиус сферы равен корню из 26. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника.

Answer 1

Ответ:

1

Объяснение: Гипотенуза равна 10 (по теореме Пифагора). Искомое расстояние  : корень квадратный из (26-5*5)=1 по той же теореме.

Перпендикуляр к плоскости треугольника проходит через центр окружности, которую высекае плоскость на сфере, а это середина гипотенузы.

Answer 2

Чтобы найти расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, мы можем воспользоваться формулой для расстояния от точки до плоскости.

Пусть точка O - центр сферы, а плоскость, содержащая треугольник ABC, обозначена как π. Расстояние d между O и π можно вычислить по формуле:

d = |Ax + By + Cz + D| / √(A^2 + B^2 + C^2),

где (A, B, C) - нормаль к плоскости π, D - свободный член плоскости, (x, y, z) - координаты точки O.

Для начала найдем нормаль к плоскости π. Поскольку треугольник ABC - прямоугольный, векторы AB и AC будут катетами треугольника. Таким образом, векторное произведение AB и AC даст нам нормаль к плоскости π.

AB = B - A = (8, 0, 0) - (0, 0, 0) = (8, 0, 0), AC = C - A = (0, 6, 0) - (0, 0, 0) = (0, 6, 0).

Найдем векторное произведение AB и AC:

N = AB × AC = (8, 0, 0) × (0, 6, 0).

Для удобства вычислений, заметим, что вектор N будет направлен вдоль оси z (поскольку вектор AB имеет только x-компоненту, а вектор AC - только y-компоненту). Поэтому, чтобы найти N, мы можем вычислить только z-компоненту векторного произведения:

N = (0, 0, 8 * 6) = (0, 0, 48).

Таким образом, нормаль к плоскости π равна (0, 0, 48).

Теперь найдем свободный член D плоскости π. Мы знаем, что плоскость проходит через точку A(0, 0, 0), поэтому:

D = -A · N = -(0, 0, 0) · (0, 0, 48) = 0.

Нашли нормаль (0, 0, 48) и свободный член D = 0 для плоскости π. Теперь мы можем вычислить расстояние d:

d = |0x + 0y + 48z + 0| / √(0^2 + 0^2 + 48^2) = |48z| / √(0 + 0 + 2304) = |48z| / 48 = |z|.

Так как радиус сферы равен корню из 26, это означает, что координата z для точки O равна корню из 26.

Таким образом, расстояние от центра сферы до плоскости треугольника равно |z| = |√26| = √26.