Question

Определить тип дифференциального уравнения первого порядка и найти его общее решение xy'=xe^y/x+y ​

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии

Answer 2

Для определения типа дифференциального уравнения первого порядка воспользуемся обозначениями:

Уравнение имеет вид: xy' = xe^(y/(x+y))

Замена переменных: z = y/(x+y)

Подставим это в уравнение: xy' = xez

Выразим y' через z и x: y' = (x/(x+y))z

Теперь выразим y' через y: y' = (x/(x+y))z = (x/(x+y))(y/(x+y)) = xy/(x+y)^2

Заметим, что выражение xy/(x+y)^2 соответствует производной от z по x.

Получили, что исходное дифференциальное уравнение можно записать в виде: dz/dx = xy/(x+y)^2

Таким образом, типом дифференциального уравнения является разделяющиеся переменные.

Теперь найдем его общее решение:

Разделим уравнение на xy и перегруппируем члены: dz/((x+y)^2) = dx/x

Интегрируем обе части уравнения: ∫(1/(x+y)^2) dz = ∫(1/x) dx

Левая часть: ∫(1/(x+y)^2) dz = ∫(1/(x+y)^2) d(x+y) = -1/(x+y) + C1

Правая часть: ∫(1/x) dx = ln|x| + C2

Где C1 и C2 - произвольные постоянные интегрирования.

Таким образом, общее решение исходного дифференциального уравнения: -1/(x+y) + C1 = ln|x| + C2

Можно переписать его в виде: 1/(x+y) = -ln|x| + C

Где C = C2 - C1.