Question

Помогите решить уравнение 2cos^4x+3sin^2x-2=0

Answer 1

$2\, cos^4x+3\, sin^2x-2=0\\\\2\, cos^4x+3\cdot (1-cos^2x)-2=0\\\\2\, cos^4x-3cos^2x+1=0\\\\t=cos^2x\geq 0\; \; ,\; \; 2t^2-3t+1=0\; ,\; \; D=1\; ,\; \; t_1=\frac{1}{2}\; ,\; \; t_2=1\\\\a)\; \; cos^2x=\frac{1}{2}\; \; \to \; \; cos^2x=\frac{1+cos2x}{2}=\frac{1}{2}\; \; ,\; \; 1+cos2x=1\; ,\\\\cos2x=0\; \; ,\; \; 2x=\frac{\pi }{2}+\pi n=\; ,\; n\in Z\\\\\underline {x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}\; ,\; n\in Z}$

$b)\; \; cos^2x=1\; \; \to \; \; \frac{1+cos2x}{2}=1\; ,\; \; 1+cos2x=2\; ,\; \; cos2x=1\; ,\\\\2x=2\pi k\; ,\; \; \underline {x=\pi k\; ,\; k\in Z}\\\\Otvet:\; \; x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}\; \; ,\; \; x=\pi k\; ,\; \; n,k\in Z\; .$

Можно было решить пункты а) и b) , не избавляясь от квадратов косинуса, но тогда надо объединять решения.

$cos^2x=\frac{1}{2}\; \; \to \; \; cosx=\pm \frac{1}{\sqrt2}\; \; ,\\\\a)\; \; cosx=\frac{1}{\sqrt2}\; ,\; \; x=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi n\; ,\; n\in Z\\\\b)\; \; cosx=-\frac{1}{\sqrt2}\; \; ,\; \; x=\pm \frac{3\pi}{4}+2\pi k\; ,\; k\in Z\\\\\left[\begin{array}{l}x=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi n\\x=\pm \frac{3\pi}{4}+2\pi k\end{array}\right\; \; \Rightarrow \; \; x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi m}{2}\; ,\; m\in Z$

$cos^2x=1\; \; \to \; \; cosx=\pm 1\\\\a)\; \; cosx=1\; ,\; x=2\pi n\; ,\; n\in Z\\\\b)\; \; cosx=-1\; ,\; \; x=\pi +2\pi k\; ,\; k\in Z\\\\\left[\begin{array}{l}x=2\pi n\\x=\pi +2\pi k\end{array}\right\; \; \; \Rightarrow \; \; \; x=\pi l\; ,\; l\in Z$

Answer 2

$2cos^4x+3sin^2x-2=0\\2cos^4x+3(1-cos^2x)-2=0\\2cos^4x-3cos^2x+1=0\\2-3+1=0=>cos^2x=1;cos^2x=\frac{1}{2}\\cos^2x=1=>\pi k\\cos^2x=\frac{1}{2}=>x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}$

k∈Z

Answer 3

Давайте решим уравнение по порядку. Пусть $y = \cos^2(x)$, тогда $\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) = 1 - y$. Подставим это в уравнение:

$2y^2 + 3(1 - y) - 2 = 0.$

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

$2y^2 - 3y + 1 = 0.$

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем либо использовать квадратное уравнение, либо заметить, что данное уравнение может быть разложено на два линейных множителя:

$(2y - 1)(y - 1) = 0.$

Отсюда получаем два возможных значения $y$:

1. $2y - 1 = 0$, тогда $y = \frac{1}{2}$.

2. $y - 1 = 0$, тогда $y = 1$.

Вернемся к переменной $x$. Подставим обратно $\cos^2(x)$ вместо $y$:

1. $\cos^2(x) = \frac{1}{2}$. Возможные значения для $\cos(x)$ это $\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$. Итак, имеем два решения: $x_1 = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, $x_2 = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k$ - целое число.

2. $\cos^2(x) = 1$. В этом случае $\cos(x) = \pm 1$, что приводит к двум решениям: $x_3 = 0 + 2\pi k$ и $x_4 = \pi + 2\pi k$, где $k$ - целое число.

Таким образом, уравнение $2\cos^4(x) + 3\sin^2(x) - 2 = 0$ имеет четыре решения:

$x_1 = \frac{\pi}{4} + 2\pi k,$ $x_2 = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k,$ $x_3 = 2\pi k,$ $x_4 = \pi + 2\pi k,$

где $k$ - целое число.