Question

Пусть а=√10-√11. Докажите, что значение выражения а^2+1/а^2 является целым числом

Answer 1

Доказательство. Найдем значение данного выражения:

$a^2+\frac{1}{a^2} =(\sqrt{10}-\sqrt{11})^2+\frac{1}{(\sqrt{10}-\sqrt{11})^2}=10-2\sqrt{10}\sqrt{11}+11+\frac{1}{21-2\sqrt{110}} =21-2\sqrt{110}+\frac{21+2\sqrt{110}}{( 21+2\sqrt{110})( 21-2\sqrt{110})}=21-2\sqrt{110}+\frac{21+2\sqrt{110}}{441-440}=21-2\sqrt{110}+21+2\sqrt{110}=21+21=42.$

42 - число целое, а значит мы доказали то, что нужно.

Answer 2

Для доказательства того, что значение выражения а^2 + 1/а^2 является целым числом, мы начнем с выражения а^2 и попытаемся его упростить.

Заметим, что: а = √10 - √11

Возводя это выражение в квадрат, получим: а^2 = (√10 - √11)^2

Раскроем скобки, используя формулу разности квадратов: а^2 = (√10)^2 - 2(√10)(√11) + (√11)^2 = 10 - 2√110 + 11 = 21 - 2√110

Теперь вычислим обратное значение а^2: 1/а^2 = 1/(21 - 2√110)

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим числитель и знаменатель на сопряженное значение выражения 21 + 2√110: 1/а^2 = (1/(21 - 2√110)) * ((21 + 2√110)/(21 + 2√110)) = (21 + 2√110)/(21^2 - (2√110)^2) = (21 + 2√110)/(441 - 4*110) = (21 + 2√110)/(441 - 440) = (21 + 2√110)/1 = 21 + 2√110

Таким образом, мы получили, что 1/а^2 = 21 + 2√110.

Теперь мы можем вычислить значение выражения а^2 + 1/а^2: а^2 + 1/а^2 = (21 - 2√110) + (21 + 2√110) = 42

Таким образом, значение выражения а^2 + 1/а^2 равно 42, что является целым числом.

Таким образом, мы доказали, что значение выражения а^2 + 1/а^2 является целым числом.