Question

Определить сходится или расходится ряды​ ∑(n=1) до бесконечности (2n-1)/(5n-3)

Answer 1

Ответ:

∑ (2n-1)/(5n-3) расходится, так как не выполнено необходимое условие сходимости:

Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю:

$\lim_{n \to \infty} a_n =0$

Проверим это условие:

$\lim_{n \to \infty} \frac{2n-1}{5n-3} = \lim_{n \to \infty} \frac{2-\frac{1}{n}}{5-\frac{3}{n}} =\frac{2}{5} \neq 0$

Answer 2

Для определения сходимости или расходимости данного ряда воспользуемся признаком сравнения.

Рассмотрим ряд ∑(n=1) до бесконечности (2n-1)/(5n-3) и сравним его с гармоническим рядом ∑(n=1) до бесконечности 1/n.

Для этого найдем предел отношения общих членов двух рядов:

lim[(2n-1)/(5n-3)] / (1/n) при n стремящемся к бесконечности.

Приведем выражение к более удобному виду:

lim[(2n-1)/(5n-3)] / (1/n) = lim[(2n-1)/(5n-3)] * (n/1) = lim[(2n^2 - n)/(5n-3)] = lim[(2 - 1/n)/(5 - 3/n)] = (2 - 0)/(5 - 0) = 2/5 = 0.4

Полученный предел является конечным и отличным от нуля.

Признак сравнения гласит, что если ряд ∑(n=1) до бесконечности 1/n сходится, то и ряд, сравнимый с ним по отношению общих членов, также сходится. Если ряд 1/n расходится, то и сравнимый с ним ряд также расходится.

Таким образом, поскольку гармонический ряд ∑(n=1) до бесконечности 1/n расходится, то и ряд ∑(n=1) до бесконечности (2n-1)/(5n-3) также расходится.