Question

Найти производную функции У=arctg x/√8-x^2

Answer 1

$y=\frac{arctgx}{\sqrt{8-x^2}}\\\\y'=\frac{\frac{1}{1+x^2}\cdot \sqrt{8-x^2}-arctgx\cdot \frac{1}{2\sqrt{8-x^2}}\cdot (-2x)}{8-x^2}=\frac{8\, -\, x^2\, +\, x\cdot (1+x^2)\, \cdot \, arctgx}{(1+x^2)\, \sqrt{(8-x^2)^3}}$

Answer 2

Два варианта ответов. Первый при условии, что дан арктангенс, а второй - дробь, в котором арктангенс в числителе...

Answer 3

Чтобы найти производную функции У = arctg(x/√(8 - x^2)), воспользуемся правилом дифференцирования для композиции функций (правило цепочки).

1. Сначала найдем производную внутренней функции f(x) = x/√(8 - x^2): Для этого воспользуемся правилом частной производной для функции, содержащей частное и состоящей из произведения двух функций.

   f'(x) = (1 * √(8 - x^2) - x * (1/2)(8 - x^2)^(-1/2) * (-2x)) / (8 - x^2) = (√(8 - x^2) + x^2 / √(8 - x^2)) / (8 - x^2) = (8 - x^2 + x^2) / (√(8 - x^2) * (8 - x^2)) = 8 / (√(8 - x^2) * (8 - x^2))

2. Теперь найдем производную функции g(x) = arctg(f(x)): Для этого воспользуемся правилом дифференцирования для обратной функции.

   g'(x) = (1 / (1 + (f(x))^2)) * f'(x) = (1 / (1 + (x/√(8 - x^2))^2)) * (8 / (√(8 - x^2) * (8 - x^2))) = 8 / (√(8 - x^2) * (8 - x^2 + x^2/ (8 - x^2))) = 8 / (√(8 - x^2) * 8)

   Упрощая выражение, получаем:

   g'(x) = 1 / (8 * √(8 - x^2))

Таким образом, производная функции У = arctg(x/√(8 - x^2)) равна 1 / (8 * √(8 - x^2)).