Question

Найдите наибольшее натуральное n, для которого число 1000 факториал делится на 3n.

Answer 1

Ответ:

1000! / 3

Объяснение:

1000! / 3n = (1 * 2 * 3 * ... * 1000) / 3n 3 можно сократить. получается

(1 * 2 * 4 * 5 * 6 * ... * 1000) / n что бы это (1 * 2 * 4 * 5 * 6 * ... * 1000) / n n не может быть больше этого (1 * 2 * 4 * 5 * 6 * ... * 1000) значит n =

= (1 * 2 * 4 * 5 6 * ... * 1000) это можно записать как 1000! / 3.

n = 1000! / 3.

Answer 2

Для нахождения наибольшего натурального числа n, для которого число 1000! делится на 3n, нам понадобится определить, сколько раз число 3 входит в разложение 1000! на простые множители.

Число 1000! представляет собой произведение всех натуральных чисел от 1 до 1000. Когда мы факторизуем это число на простые множители, мы можем заметить, что каждое третье число делится на 3, а каждое девятое число делится на 3^2 = 9, каждое 27-е число делится на 3^3 = 27, и так далее.

Количество троек в разложении числа 1000! равно: ⌊1000/3⌋ + ⌊1000/3^2⌋ + ⌊1000/3^3⌋ + ...,

где ⌊x⌋ обозначает наибольшее целое число, не превышающее x.

Чтобы найти наибольшее n, для которого число 1000! делится на 3n, мы должны найти наибольшую степень 3, которая появляется в разложении 1000!. Мы можем найти это число, используя рассуждения, описанные выше.

⌊1000/3⌋ + ⌊1000/3^2⌋ + ⌊1000/3^3⌋ + ... = 333 + 111 + 37 + 12 + 4 + 1 = 498.

Таким образом, наибольшее натуральное n, для которого число 1000! делится на 3n, равно 498.