Question

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение x^4-2x^3-12x^2+20x+20-2ax+8a-a^2=0 имеет не менее трех корней

Answer 1

Ответ: a∈ [-3;10]

Объяснение:

x^4-2x^3-12x^2+20x+20-2ax+8a-a^2=0

x^4-2*x^3-12*x^2 +20*x +20 - ( a^2 +2*a*(x-4) ) = 0

x^4-2*x^3-12*x^2 +20*x +20 +(x-4)^2 -(a^2+2*a*(x-4) +(x-4)^2)=0

(x-4)^2= x^2 -8*x+16

x^4-2*x^3-11*x^2 +12*x +36 - (a+x-4)^2= 0

x^4+x^2 +6^2  + 2*x^2*(-x)  + 2*x^2*(-6) +2*(-x)*(-6) -(a+x-4)^2=0

Видна формула квадрата суммы трех слагаемых :

(a+b+c)^2= a^2+b^2+c^2 +2*ab+2*ac +2*bc

x^4+x^2 +6^2  + 2*x^2*(-x)  + 2*x^2*(-6) +2*(-x)*(-6)

(x^2-x-6)^2 =  x^4+x^2 +6^2  + 2*x^2*(-x)  + 2*x^2*(-6) +2*(-x)*(-6)

Таким образом уравнение имеет  вид :

(x^2-x-6)^2 -(a+x-4)^2=0

(x^2-2x-2 -a)*(x^2-10+a)=0

Разбивается на два подуравнения :

1 )   (x-1)^2= a+3

2)   x^2 = 10-a

Данное уравнение имеет  не менее  3 корней  , когда :

1)  Оба уравнения имеют по два решения .

2) Первое  уравнение имеет  1 решение ,  а второе  2  

3)  Наоборот случаю 2

1 cлучай :

a+3>0

10-a>0

a∈ ( -3 ;10)

2 cлучай :

a=-3

a<10 (верно)

3 cлучай :

a=10

a>-3 (верно)

Таким образом ответ :

a∈ [-3;10]

Answer 2

Для уравнения $x^4 - 2x^3 - 12x^2 + 20x + 20 - 2ax + 8a - a^2 = 0$ с целью найти значения $a$, при которых уравнение имеет не менее трех корней, мы можем использовать теорему Безу.

Согласно теореме Безу, количество корней уравнения равно количеству изменений знака в последовательности коэффициентов многочлена (пропуская ведущие нули). Таким образом, нам нужно найти значения $a$, при которых последовательность коэффициентов будет иметь не менее трех изменений знака.

Распишем уравнение и выделим коэффициенты:

$x^4 - 2x^3 - 12x^2 + 20x + 20 - 2ax + 8a - a^2 = 0$

Коэффициенты:

$1x^4 - 2x^3 - 12x^2 + (20 - 2a)x + (20 + 8a - a^2) = 0$

Последовательность коэффициентов: $1, -2, -12, (20 - 2a), (20 + 8a - a^2)$.

Теперь мы должны найти значения $a$, при которых последовательность имеет не менее трех изменений знака.

Рассмотрим возможные случаи:

1. Если последовательность имеет три изменения знака, то коэффициенты должны следовать одной из следующих комбинаций:

   • $+, -, +, -, +$ (положительный, отрицательный, положительный, отрицательный, положительный)
   • $-, +, -, +, -$ (отрицательный, положительный, отрицательный, положительный, отрицательный)

   Например, возьмем первую комбинацию: $1, -2, -12, (20 - 2a), (20 + 8a - a^2)$ Заметим, что первые три коэффициента уже дают два изменения знака, поэтому нам нужно, чтобы $20 - 2a$ было отрицательным, а $20 + 8a - a^2$ положительным. Это даст нам дополнительное изменение знака, итого три изменения знака. Решая неравенства, получим: $20 - 2a < 0 \quad \text{и} \quad 20 + 8a - a^2 > 0$ $-2a < -20 \quad \text{и} \quad a^2 - 8a - 20 < 0$ $a > 10 \quad \text{и} \quad (a - 10)(a + 2) < 0$ Поэтому диапазон значений $a$ для этого случая: $a \in (10, -2)$.

2. Если последовательность имеет более трех изменений знака, то существует несколько других комбинаций. Однако, в данном случае, мы ищем только значения $a$, при которых уравнение имеет не менее трех корней, поэтому ограничимся только первым случаем.

Таким образом, значения $a$, при которых уравнение $x^4 - 2x^3 - 12x^2 + 20x + 20 - 2ax + 8a - a^2 = 0$ имеет не менее трех корней, это $a \in (10, -2)$.