Question

Найти проекцию точки M (2;-1;4) на прямую x-4/2=y+1/1=z+2/3

Answer 1

Ответ:   $M_0(\frac{27}{7}\, ;\, -\frac{15}{14}\, ;\, -\frac{31}{14})$ .

Объяснение:

В трехмерном пространстве проекций точки М на прямую  $l$   является точка пересечения прямой   $l$  и плоскости   $\pi$  , проходящей через точку М перпендикулярно к прямой   $l$  .

$M(2,-1,4)\; \; ,\; \; l:\; \frac{x-4}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z+2}{3}\\\\1)\; \; M\in \pi \; ,\; \; \pi \perp l\; ,\; \; \vec{n}_{\pi }=\vec{s}_{l}=(2,1,3)\; \; ,\\\\A(x-x_0)+B(y-y_))+C(z-z_0)=0\\\\\pi :\; 2(x-2)+1\cdot (y+1)+3(z-4)=0\\\\\pi :\; 2x+y+3z-15=0\\\\2)\; \; l:\; \left\{\begin{array}{lll}x=2t+4\\y=t-1\\z=3t-2\end{array}\right\; \; \; \Rightarrow \; \; \; 2(2t+4)+(t-1)+3(3t-2)-15=0\\\\4t+8+t-1+9t-6-15=0\; \; ,\; \; \; 14t+1=0\; \; ,\; \; t=-\frac{1}{14}\\\\3)\; \; l\cap \pi =M_0\; \; ,$

$x_0=2\cdot (-\frac{1}{14})+4=\frac{27}{7}\; ,\\\\y_0=-\frac{1}{14}-1=-\frac{15}{14}\; ,\\\\z_0=3\cdot (-\frac{1}{14})-2=-\frac{31}{14}\\\\M_0(\frac{27}{7}\, ;\, -\frac{15}{14}\, ;\, -\frac{31}{14})$

Answer 2

Для нахождения проекции точки M(2,-1,4) на прямую, необходимо использовать формулу проекции.

1. Определим вектор направления прямой. Коэффициенты при x, y и z дают направляющий вектор прямой. В данном случае он равен (2, 1, 2/3).

2. Вычислим вектор от начальной точки прямой до точки M. Для этого вычтем координаты начальной точки прямой из координат точки M:

   ΔM = (2 - 4, -1 - 1, 4 - 2/3) = (-2, -2, 10/3)

3. Вычислим длину вектора направления прямой:

   |d| = √(2^2 + 1^2 + (2/3)^2) = √(4 + 1 + 4/9) = √(49/9) = 7/3

4. Вычислим проекцию точки M на прямую с помощью формулы:

   proj = ((ΔM · d) / |d|^2) * d

   Где · обозначает скалярное произведение векторов.

   proj = ((-2, -2, 10/3) · (2, 1, 2/3)) / (7/3)^2 * (2, 1, 2/3)

   proj = ((-2 * 2) + (-2 * 1) + (10/3 * 2/3)) / (49/9) * (2, 1, 2/3)

   proj = (-4 - 2 + 20/9) / (49/9) * (2, 1, 2/3)

   proj = (2/9) / (49/9) * (2, 1, 2/3)

   proj = (2/9) * (2, 1, 2/3)

   proj = (4/9, 2/9, 4/27)

Таким образом, проекция точки M(2,-1,4) на прямую x-4/2=y+1/1=z+2/3 равна (4/9, 2/9, 4/27).