Question

X и y-целые числа,такие,что 3х+7у делится на 19.Докажите,что 43х+75у тоже делится на 19

Answer 1

43x + 75y = 19x + 24x + 19y + 56y = 19x + 19y + 24x + 56y = 19(x + y) + 8*(3x + 7y)

сумма двух сомножителей,которые делятся на 19 , значит и вся сумма делится

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, нам необходимо воспользоваться свойствами делимости и модульной арифметики. Давайте рассмотрим первое условие, что 3x + 7y делится на 19:

1. 3x + 7y ≡ 0 (mod 19)

Теперь, чтобы доказать, что 43x + 75y также делится на 19, предположим обратное, что это не так:

2. 43x + 75y ≡ r (mod 19), где r ≠ 0

Теперь давайте попробуем выразить x и y через r из этих двух уравнений:

Из (1): 3x ≡ -7y (mod 19)

Из (2): 43x ≡ -75y + r (mod 19)

Теперь умножим уравнение (1) на 43 и уравнение (2) на 3:

Уравнение (1) * 43: 129x ≡ -301y (mod 19)

Уравнение (2) * 3: 129x ≡ -225y + 3r (mod 19)

Теперь вычтем уравнение (Уравнение (2) * 3) из уравнения (Уравнение (1) * 43):

0 ≡ -76y + 3r (mod 19)

Так как y - целое число, тогда -76y также делится на 19. Значит, и 3r делится на 19. Но 3r < 3 * 19 = 57, и единственное возможное значение для 3r, при котором он делится на 19, это 3r = 0.

Таким образом, мы пришли к противоречию, предположение о том, что 43x + 75y не делится на 19, неверно. Значит, 43x + 75y также делится на 19. Таким образом, утверждение доказано.