Question

Найдите область значений функции cos²x-cosx​

Answer 1

Ответ:

[-1/4;2]

Объяснение:

пусть

$\cos(x) = t$

где

$- 1 \leqslant t \leqslant 1$

найдем локальные экстремумы функции

$y(t) = {t}^{2} - t$

найдем производную

$\frac{dy}{dt} = 2t - 1$

экстремум при условии что производная равна нулю:

$2t - 1 = 0 \\ t = \frac{1}{2}$

функция убывает при t<0.5, возрастает при t>0.5, поэтому t=0.5 точка минимума

$y_{min} = { (\frac{1}{2}) }^{2} - \frac{1}{2} = - \frac{1}{4}$

максимум функции на границах промежутка

$y( - 1) = {( - 1)}^{2} - ( - 1) = 2 \\ y(1) = {1}^{2} - 1 = 0$

поэтому

$y_{max} = 2$

Answer 2

Функция $f(x) = \cos^2(x) - \cos(x)$ является комбинацией косинусов и возведения в квадрат, которые имеют определенные области значений.

Косинус функции может принимать значения в интервале [-1, 1]. При возведении в квадрат значения косинуса остаются положительными, так как квадрат никогда не может быть отрицательным.

Таким образом, область значений функции $\cos^2(x) - \cos(x)$ будет в интервале $[0, 2]$.

Полученное значение будет включать нуль, так как при $x = 0$ первое слагаемое $\cos^2(x)$ будет равно 1, а второе слагаемое $\cos(x)$ будет равно 1, что дает общий результат равный 0.

Также, максимальное значение функции достигается при $x = \frac{\pi}{3}$, когда первое слагаемое $\cos^2(x)$ равно $\frac{1}{4}$, а второе слагаемое $\cos(x)$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Сумма этих значений равна $\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.08$, что меньше 2.

Таким образом, область значений функции $f(x) = \cos^2(x) - \cos(x)$ составляет интервал [0, 2].