Question

Верно ли, что число, записанное произвольным числом повторяющихся цифр, делится на 11? Верно ли обратное утверждение? ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА

Answer 1

1)

Нет, если число записано парным числом повторяющихся цифр, то оно делится на 11, а если непарным, то не делится

2)

Нет, в записи числа могут присутствовать разные цифры. Пример: 121

Если будут вопросы – обращайтесь :)

Answer 2

Да, верно, что число, записанное произвольным числом повторяющихся цифр, делится на 11. Обратное утверждение также верно.

Чтобы понять, почему это так, давайте рассмотрим числа, состоящие из повторяющихся одинаковых цифр. Пусть это число будет записано как N, где каждая цифра повторяется k раз.

Мы можем представить N в виде суммы, где каждый член суммы представляет разряд числа, умноженный на 10 в некоторой степени. Например, если N состоит из цифры a и повторяется k раз, мы можем записать его следующим образом:

N = a * (10^0 + 10^1 + 10^2 + ... + 10^(k-1))

Эта сумма является геометрической прогрессией, и ее сумму можно вычислить по формуле:

N = a * ((10^k - 1) / (10 - 1))

Мы можем упростить это выражение:

N = a * ((10^k - 1) / 9)

Теперь, если k больше или равно 2, 10^k - 1 будет делиться на 9 без остатка. Значит, числа, состоящие из повторяющихся цифр, будут делиться на 9 без остатка.

Теперь рассмотрим деление на 11. Число N можно представить как:

N = a * ((10^k - 1) / 9) = a * (1 + 10 + 10^2 + ... + 10^(k-1)) / 9

Мы видим, что сумма (1 + 10 + 10^2 + ... + 10^(k-1)) является арифметической прогрессией. Сумма такой прогрессии равна (10^k - 1) / 9.

Теперь, если k является нечетным числом, (10^k - 1) / 9 будет делиться на 11 без остатка. Если k является четным числом, (10^k - 1) / 9 будет делиться на 11 с остатком 1.

Таким образом, можно сделать вывод, что число, записанное произвольным числом повторяющихся цифр, делится на 11, и обратное утверждение также верно.