Question

тело движется прямолинейно со скоростью v(t) = t^2+t-2. Вычислить путь пройденный телом за промежуток времени от t=2 до t=5

Answer 1

V(t) = t² + t - 2

$S=\int\limits^5_2 {(t^{2}+t-2) } \, dt=(\frac{t^{3} }{3}+\frac{t^{2} }{2}-2t)|_{2}^{5}=\frac{5^{3}}{3}+\frac{5^{2}}{2}-2*5-(\frac{2^{3}}{3}+\frac{2^{2}}{2}-2*2)=\frac{125}{3} +\frac{25}{2}-10-\frac{8}{3} -2+4=\frac{117}{3}+12,5-8=39+12,5-8=43,5$

Answer 2

Для вычисления пути, пройденного телом за заданный промежуток времени, необходимо проинтегрировать скорость тела по времени в указанном интервале.

Дано: v(t) = t^2 + t - 2 (скорость тела)

Для вычисления пути используем формулу интеграла: s(t) = ∫[a, b] v(t) dt,

где a = 2 (начальный момент времени) и b = 5 (конечный момент времени).

Проинтегрируем скорость по времени: s(t) = ∫[2, 5] (t^2 + t - 2) dt.

Для интегрирования используем правила алгебраической суммы и степенной суммы.

s(t) = ∫[2, 5] t^2 dt + ∫[2, 5] t dt - ∫[2, 5] 2 dt.

Вычислим каждый интеграл по отдельности:

∫[2, 5] t^2 dt = [t^3/3]_2^5 = (5^3/3) - (2^3/3) = 125/3 - 8/3 = 117/3.

∫[2, 5] t dt = [t^2/2]_2^5 = (5^2/2) - (2^2/2) = 25/2 - 4/2 = 21/2.

∫[2, 5] 2 dt = [2t]_2^5 = 2(5) - 2(2) = 10 - 4 = 6.

Теперь сложим результаты интегрирования: s(t) = (117/3) + (21/2) - 6 = 39 + 10.5 - 6 = 43.5.

Таким образом, тело пройдет путь, равный 43.5 единицам за промежуток времени от t=2 до t=5.