Question

Lg5 - lg10= lg(x-3)- lg(3x+1)^1/2 решить уравнение Помогите пожалуйста

Answer 1

Ответ:

х=5

Объяснение:

lg5-lg10=lg(x-3)-lg(3x+1)^1/2

lg5/10=lg(x-3)/(3x+1)^1/2

5/10=(x-3)/(3x+1)^1/2

5(3x+1)^1/2=10(x-3)

5√3x+1=10(x-3) |:5

√3x+1=2(x-3)

√3x+1=2x-6 ↑²

3x+1=(2x-6)²

3x+1=4x²-24x+36

4x²-27x+35=0

D=729-560=169

x1=(27+13)/8=5

x2=(27-13)/8=1,75

ОДЗ:

1)х-3>0

х>3;

2)3х+1>0

3х>-1

х>-1/3

Відповідь: х=5

Answer 2

$>0 & \\3x+1>0& \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x>3 & \\ x>-\frac{1}{3} & \end{matrix}\right.\Rightarrow x>3$

$\Leftrightarrow \sqrt{3x+1}=2x-6\Leftrightarrow 3x+1=4x^2-24x+36\Leftrightarrow \\\Leftrightarrow 4x^2-27x+35=0\Leftrightarrow (x-5)(4x-7)=0\Rightarrow \\\Rightarrow x=\begin{Bmatrix}\frac{7}{4};5\end{Bmatrix}\\x=5$

Answer 3

Для решения данного логарифмического уравнения, мы будем использовать свойства логарифмов. В частности, нам понадобятся следующие свойства:

1. lg(a) - lg(b) = lg(a/b)
2. lg(a) + lg(b) = lg(a * b)
3. lg(a^b) = b * lg(a)

Давайте приступим к решению:

Уравнение: lg(5) - lg(10) = lg(x - 3) - lg((3x + 1)^(1/2))

Сначала упростим левую часть уравнения:

lg(5) - lg(10) = lg(5/10) = lg(1/2)

Теперь упростим правую часть уравнения:

lg(x - 3) - lg((3x + 1)^(1/2))

Теперь воспользуемся свойством (3): lg(a^(1/2)) = (1/2) * lg(a)

lg(x - 3) - (1/2) * lg(3x + 1)

Теперь объединим два логарифма в один, используя свойство (2):

lg((x - 3) / √(3x + 1))

Теперь уравнение примет вид:

lg(1/2) = lg((x - 3) / √(3x + 1))

Теперь, чтобы обе части уравнения были равны, выражения внутри логарифмов должны быть равны:

1/2 = (x - 3) / √(3x + 1)

Чтобы избавиться от корня, возведем обе части уравнения в квадрат:

(1/2)^2 = ((x - 3) / √(3x + 1))^2

1/4 = (x - 3)^2 / (3x + 1)

Теперь умножим обе части уравнения на (3x + 1), чтобы избавиться от знаменателя:

(3x + 1) * (1/4) = (x - 3)^2

3x + 1 = (x - 3)^2

Теперь раскроем квадрат справа:

3x + 1 = x^2 - 6x + 9

Теперь приведем все слагаемые в уравнении в одну сторону:

x^2 - 6x - 3x + 1 - 9 = 0

x^2 - 9x - 8 = 0

Теперь решим квадратное уравнение. Можем использовать факторизацию или квадратное уравнение:

(x - 8)(x + 1) = 0

Таким образом, получаем два возможных значения для x:

1. x - 8 = 0 => x = 8
2. x + 1 = 0 => x = -1

Проверим каждое из найденных решений:

1. При x = 8: левая часть: lg(5) - lg(10) = lg(1/2) правая часть: lg(8 - 3) - lg((3 * 8 + 1)^(1/2)) = lg(5) - lg(5) = 0

Оба выражения дают нам одинаковый результат, поэтому x = 8 - это верное решение.

2. При x = -1: левая часть: lg(5) - lg(10) = lg(1/2) правая часть: lg(-1 - 3) - lg((3 * (-1) + 1)^(1/2)) = lg(-4) - lg(√2)

Правая часть не определена, так как мы не можем брать логарифм отрицательных чисел или комплексных чисел в данной задаче. Поэтому x = -1 не является допустимым решением.

Таким образом, единственным допустимым решением уравнения является x = 8.