Question

Докажите равенство a^2-8ab+17b^2-2b+3>0​

Answer 1

Ответ:

Правая часть неравенства может быть преобразована так: (a-4b)^2+b^2-2b+1+2  .

Значит неравенство приобретает вид:

(a-4b)^2+(b-1)^2>-2

Что очевидно, т.к. слева выражение неотрицательно, а справа отрицательно.

Answer 2

Для доказательства неравенства $a^2 - 8ab + 17b^2 - 2b + 3 > 0$ для всех $a$ и $b$, нам нужно использовать математические методы. Однако, данное неравенство неверно. Давайте рассмотрим пример, где оно не выполняется:

Пусть $a = 1$ и $b = 1$, тогда:

$a^2 - 8ab + 17b^2 - 2b + 3 = 1^2 - 8 \cdot 1 \cdot 1 + 17 \cdot 1^2 - 2 \cdot 1 + 3 = 1 - 8 + 17 - 2 + 3 = 11$.

Таким образом, неравенство принимает значение $11 > 0$, которое явно не выполняется.

Для подтверждения этого, рассмотрим квадратный трехчлен $a^2 - 8ab + 17b^2$. У него дискриминант равен:

$D = b^2 - 4ac = (-8b)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 17b^2 = 64b^2 - 68b^2 = -4b^2$.

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), это означает, что квадратное выражение $a^2 - 8ab + 17b^2$ всегда положительно (не имеет корней), независимо от значения переменных $a$ и $b$.

Таким образом, для данного неравенства $a^2 - 8ab + 17b^2 - 2b + 3 > 0$ существуют контрпримеры, и оно неверно для всех $a$ и $b$.