Question

70 баллов Доказать, что данная функция f(x)=tgx+cos2x является периодической. Доказательство:

Answer 1

Ответ:

по моему ответ будет такой

Answer 2

Для доказательства периодичности функции f(x) = tg(x) + cos(2x) нам необходимо показать, что существует положительное число T, такое что f(x + T) = f(x) для всех значений x.

Исходя из определения тангенса и косинуса, функция f(x) может быть записана как f(x) = sin(x)/cos(x) + cos(2x).

Посмотрим на f(x + π/2):

f(x + π/2) = sin(x + π/2)/cos(x + π/2) + cos(2(x + π/2)) = cos(x)/(-sin(x)) + cos(2x + π) = -cos(x)/sin(x) + cos(2x + π) = -cos(x)/sin(x) - cos(2x) (так как cos(2x + π) = -cos(2x))

Теперь рассмотрим f(x + π):

f(x + π) = sin(x + π)/cos(x + π) + cos(2(x + π)) = -sin(x)/(-cos(x)) + cos(2x + 2π) = sin(x)/cos(x) + cos(2x) = f(x)

Таким образом, мы видим, что f(x + π/2) = -cos(x)/sin(x) - cos(2x) и f(x + π) = f(x).

Заметим, что f(x + π/2) и f(x) не равны между собой, но они равны с противоположными знаками. Это говорит нам о том, что функция f(x) обладает периодом π.

Таким образом, мы доказали, что функция f(x) = tg(x) + cos(2x) является периодической с периодом π.