Question

В классе 10 мальчиков и 10 девочек. Определить количество способов для выбора 14 ребят для украшения класса

Answer 1

Ответ:

38760 способов

Объяснение:

Сочетаниями называют различные комбинации из m объектов, которые выбраны из множества n различных объектов, и которые отличаются друг от друга хотя бы одним объектом.

В задаче рассматривается выбор 14 ребят из 20 (=10+10) ребят, то есть рассматривается 14-элементное подмножество 20-элементного множества. Поэтому определяем число сочетаний $\displaystyle \tt C_{n}^{m}$ для n=20 и m=14 по формуле:

$\displaystyle \tt C_{n}^{m}=\frac{n!}{m! \cdot (n-m)!}.$

Тогда

$\displaystyle \tt C_{20}^{14}=\frac{20!}{14! \cdot (20-14)!}=\frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot 14 \cdot 15 \cdot ... \cdot 20}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot 14 \cdot 6!}=\frac{15 \cdot ... \cdot 20}{6!}=\\\\=\frac{15 \cdot 16 \cdot 17 \cdot 18 \cdot 19 \cdot 20}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6}=\frac{15 \cdot 8 \cdot 17 \cdot 19}{1}=38760.$

Answer 2

Для выбора 14 ребят из класса, учитывая, что в классе 10 мальчиков и 10 девочек, мы должны рассмотреть несколько случаев:

1. Все 14 ребят - мальчики.
2. Все 14 ребят - девочки.
3. 13 ребят - мальчики, и 1 ребенок - девочка.
4. 12 ребят - мальчики, и 2 ребенка - девочки.
5. 11 ребят - мальчики, и 3 ребенка - девочки.
6. 10 ребят - мальчики, и 4 ребенка - девочки.

Давайте посчитаем количество способов для каждого случая:

1. Количество способов выбрать 14 мальчиков из 10: C(10, 14) = 0 (невозможно выбрать 14 мальчиков из 10).
2. Количество способов выбрать 14 девочек из 10: C(10, 14) = 0 (невозможно выбрать 14 девочек из 10).
3. Количество способов выбрать 13 мальчиков из 10 и 1 девочку из 10: C(10, 13) * C(10, 1) = 10 * 1 = 10.
4. Количество способов выбрать 12 мальчиков из 10 и 2 девочки из 10: C(10, 12) * C(10, 2) = 45 * 45 = 2025.
5. Количество способов выбрать 11 мальчиков из 10 и 3 девочки из 10: C(10, 11) * C(10, 3) = 10 * 120 = 1200.
6. Количество способов выбрать 10 мальчиков из 10 и 4 девочки из 10: C(10, 10) * C(10, 4) = 1 * 210 = 210.

Теперь сложим все полученные результаты:

Общее количество способов = 0 (п. 1) + 0 (п. 2) + 10 (п. 3) + 2025 (п. 4) + 1200 (п. 5) + 210 (п. 6) = 3445.

Таким образом, есть 3445 способов выбрать 14 ребят для украшения класса.