Question

Все свойства числовых неравенств с доказательствам​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

1. Если a > b и b>c , то a>c

Допустим, что а = 5, b = 1, c = 0.

5 > 1 (a > b)

1 > 0 (b > c)

5 >  0 (a > c)

Если a > b и b > c, то логично, что а > c.

2. Если a > b , то a+c > b + c

Допустим, что a = 3 , b =2 , c = 1

Понятно, что 3 > 2 и соответственно a > b.

3 + 1 > 2 + 1 , ведь 3+1=4, а 2+1=3.

Добавляя к двум разным числам одно и тоже число знак неравенства не меняется.

3. Если a > b и k > 0, то ak > bk

Допустим, что a = 4 , b = 3  и k > 0, например: 2

4×2 > 3×2

Если обе части мы умножаем на одинаковое положительное число, то знак неравенства не меняется.

4. Если a > b и k < 0, то ak < bk

Допустим, что a = 4, b = 3 и k < 0, например: -2

4×(-2) < 3×(-2)

Если обе части неравенства умножить на одинаковое отрицательное число, то знак неравенства меняется.

Answer 2

Для начала определимся с тем, что такое числовое неравенство. Числовое неравенство представляет собой выражение, в котором сравниваются два числа или выражения с использованием одного из следующих знаков: "<" (меньше), ">" (больше), "≤" (меньше или равно), "≥" (больше или равно) или "≠" (не равно).

Теперь рассмотрим основные свойства числовых неравенств с доказательствами:

1. Свойство транзитивности: Если a < b и b < c, то a < c. Доказательство: Пусть a < b и b < c. Это означает, что разница между a и b положительна, а также разница между b и c положительна. Тогда можно записать: b - a > 0 и c - b > 0. Теперь сложим оба неравенства: (b - a) + (c - b) > 0. Упростим: c - a > 0. Это означает, что разница между a и c положительна, т.е. a < c.

2. Свойство сложения: Если a < b, то a + c < b + c. Доказательство: Пусть a < b. Тогда разница между a и b положительна, т.е. b - a > 0. Добавим c к обеим частям неравенства: (b - a) + c > 0. Теперь переставим слагаемые: c + (b - a) > 0. По свойству коммутативности сложения перепишем: (b + c) - a > 0. Это означает, что разница между a + c и b + c положительна, т.е. a + c < b + c.

3. Свойство умножения: Если a < b и c > 0, то a * c < b * c. Доказательство: Пусть a < b и c > 0. Это означает, что разница между a и b положительна (b - a > 0) и c положительно (c > 0). Умножим оба неравенства на c: c * (b - a) > 0. Раскроем скобки: b * c - a * c > 0. Теперь добавим a * c к обеим частям неравенства: b * c > a * c. Это означает, что произведение a * c меньше произведения b * c, т.е. a * c < b * c.

4. Свойство деления: Если a < b и c > 0, то a / c < b / c. Доказательство: Пусть a < b и c > 0. Это означает, что разница между a и b положительна (b - a > 0) и c положительно (c > 0). Поделим оба неравенства на c: (b - a) / c > 0. Теперь добавим a / c к обеим частям неравенства: (b / c) - (a / c) > 0. Это означает, что разница между a / c и b / c положительна, т.е. a / c < b / c.

5. Инверсия при умножении или делении на отрицательное число: Если a < b и c < 0, то a * c > b * c и a / c > b / c. Доказательство: Пусть a < b и c < 0. Это означает, что разница между a и b положительна (b - a > 0) и c отрицательно (c < 0). Умножим оба неравенства на c: c * (b - a) < 0. Раскроем скобки: b * c - a * c < 0. Теперь добавим a * c к обеим частям неравенства: b * c < a * c. Это означает, что произведение a * c больше произведения b * c, т.е. a * c > b * c.

Точно таким же образом можно доказать и свойство деления.

Это лишь несколько основных свойств числовых неравенств. Существует еще много других свойств и правил для работы с числовыми неравенствами, которые могут быть использованы в различных математических рассуждениях и доказательствах.